[论文解读] Gromov Invariants for Holomorphic Maps from Riemann Surfaces to Grassmannians

Aaron Bertram, Georgios Daskalopoulos+1 more|ArXiv.org|Jun 8, 1993

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文在从亏格一黎曼曲面到格拉斯曼流形的全纯映射的乌伦贝克紧化上建立了投影概形结构，证明其通过格罗滕迪克商概形被代数紧化所支配。通过将该空间嵌入广义涡旋解的模空间，作者提供了一种有效计算格罗莫夫不变量的方法，这些不变量在亏格一情形下被显式计算出来。

ABSTRACT

Two compactifications of the space of holomorphic maps of fixed degree from a compact Riemann surface to a Grassmannian are studied. It is shown that the Uhlenbeck compactification has the structure of a projective scheme and is dominated by the algebraic compactification arising as a Grothendieck Quot scheme. The latter may be embedded into the moduli space of solutions to a generalized version of the vortex equations studied by Bradlow. This gives an effective way of computing certain intersection numbers (known as Gromov invariants) on the space of holomorphic maps into Grassmannians. We carry out these computations in the case where the Riemann surface has genus one.

研究动机与目标

• 研究从紧黎曼曲面到格拉斯曼流形的全纯映射空间的两种紧化：乌伦贝克紧化与通过格罗滕迪克商概形的代数紧化。
• 确立乌伦贝克紧化具有自然的投影概形结构。
• 证明通过商概形构造的代数紧化支配乌伦贝克紧化。
• 将商概形紧化嵌入广义涡旋方程解的模空间中，如布拉德洛所研究的那样。
• 为全纯映射到格拉斯曼流形的空间提供一种有效的格罗莫夫不变量计算框架，特别是在亏格一情形下。

提出的方法

• 构造从亏格一黎曼曲面到格拉斯曼流形的度数d全纯映射空间的乌伦贝克紧化。
• 通过分析带有泡树的全纯映射的极限，证明乌伦贝克紧化是投影概形。
• 使用格罗滕迪克商概形构造全纯映射空间的代数紧化。
• 通过自然的态射证明商概形紧化支配乌伦贝克紧化。
• 将商概形实现为广义涡旋方程解的模空间的子空间，扩展布拉德洛的框架。
• 利用这一几何嵌入，通过在紧化模空间上应用代数几何技术，计算交点数（格罗莫夫不变量）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为从亏格一黎曼曲面到格拉斯曼流形的全纯映射的乌伦贝克紧化赋予自然的投影概形结构？
• RQ2 乌伦贝克紧化与商概形紧化之间有何关系？
• RQ3 商概形紧化能否嵌入广义涡旋解的模空间中？
• RQ4 能否通过在紧化模空间上应用代数几何方法，有效计算到格拉斯曼流形的全纯映射的格罗莫夫不变量？
• RQ5 在亏格一黎曼曲面情形下，格罗莫夫不变量的显式值是多少？

主要发现

• 从亏格一黎曼曲面到格拉斯曼流形的度数d全纯映射的乌伦贝克紧化具有自然的投影概形结构。
• 通过一个合适的态射，商概形紧化支配乌伦贝克紧化，表明其具有更强的代数结构。
• 商概形紧化可嵌入广义涡旋方程解的模空间中，扩展了布拉德洛的结果。
• 该嵌入提供了一种有效方法，将格罗莫夫不变量计算为紧化空间上的交点数。
• 本文显式计算了亏格一黎曼曲面情形下的格罗莫夫不变量，得到了具体的数值结果。
• 结果在辛几何（格罗莫夫不变量）与代数几何（商概形与涡旋解模空间）之间建立了桥梁。