[论文解读] Gromov Witten invariants of exploded manifolds

Brett Parker|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 30

一句话总结

本文在爆炸流形（exploded manifolds）范畴内建立了定义格罗莫夫-威滕不变量的框架，爆炸流形是一种推广了具有法向相交除子的辛流形的几何结构。通过构造 $\bar{\nabla}$-方程的多重扰动虚拟模空间，并证明一个将相对不变量对热带曲线求和的粘合定理，作者将格罗莫夫-威滕理论推广至奇异和退化的设定，其应用涵盖满足格罗莫夫紧致性条件的紧致辛流形与 торic 代数簇。

ABSTRACT

This paper describes the structure of the moduli space of holomorphic curves and constructs Gromov Witten invariants in the category of exploded manifolds. This includes defining Gromov Witten invariants relative to normal crossing divisors and proving the associated gluing theorem which involves summing relative invariants over a count of tropical curves.

研究动机与目标

• 将格罗莫夫-威滕理论推广至爆炸流形，爆炸流形是包含法向相交除子与 toric 退化的辛流形的一般化。
• 通过 $\bar{\nabla}$-方程的多重扰动，在爆炸流形中构造全纯曲线的虚拟模空间。
• 为相对于法向相交除子的曲线定义相对格罗莫夫-威滕不变量。
• 证明一个粘合定理，将不变量表示为对热带曲线的求和，从而建立复几何与热带几何之间的联系。
• 建立格罗莫夫紧致性成立的条件，以确保模空间的有限性与紧致性，便于积分。

提出的方法

• 构造爆炸流形 $\mathbb{B}$ 上具有几乎复结构 $J$ 与控制形式 $\omega$ 的 $C^{\infty,\underline{1}}$ 曲线的模栈 $\sigma^{\omega}$。
• 在全纯曲线邻域上使用多重扰动，定义虚拟模空间 $\mathcal{M}_{g,[\gamma],\beta}$，通过层的加权分支截面解决障碍问题。
• 通过在虚拟模空间上对微分形式进行积分，利用 $\mathbb{X}$ 上的精细微分形式 $\theta \in {}^r\Omega^*(\mathbb{X})$ 的庞加莱对偶性，引入虚拟基本类。
• 定义评估映射 $\psi: \mathcal{M}^{\omega}_{g,[\gamma],\beta} \to \overline{\mathcal{M}}_{g,[\gamma]} \times \operatorname{End}_{[\gamma]}\mathbb{B}$，以参数化曲线端点与穿孔点。
• 应用热带完成与 $\gamma$-装饰，描述相对不变量的粘合过程，将全holomorphic 曲线不变量与热带曲线上的计数联系起来。
• 证明了多种类爆炸流形的格罗莫夫紧致性，包括紧致辛流形、toric 代数簇以及与 $\mathbb{T}^n$ 的积，确保模空间的有限性与紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在爆炸流形范畴内定义格罗莫夫-威滕不变量，特别是针对具有指定热带类型的曲线以及相对于法向相交除子的情形？
• RQ2 爆炸流形中全纯曲线的模空间结构如何？如何通过多重扰动实现其虚拟紧化？
• RQ3 爆炸流形中的相对不变量如何粘合？热带曲线在此粘合过程中起什么作用？
• RQ4 在何种几何条件下，爆炸流形及其族的格罗莫夫紧致性成立？
• RQ5 爆炸流形中的虚拟基本类能否通过微分形式的积分表示？该表示是否与构造中的选择无关？

主要发现

• 通过 $\bar{\partial}$-方程的多重扰动构造了虚拟模空间 $\mathcal{M}_{g,[\gamma],\beta}$，并由此得到定义良好的虚拟基本类。
• 格罗莫夫-威滕不变量被定义为在虚拟模空间上对微分形式的积分，且由于爆炸流形的精细德拉姆上同调中的庞加莱对偶性，其结果与选择无关。
• 证明了粘合定理：爆炸流形的相对不变量可通过在热带曲线上求和得到，建立了全纯曲线计数与热带曲线计数之间的对应关系。
• 格罗莫夫紧致性在具有控制几乎复结构的紧致辛流形上成立，同样适用于 toric 代数簇与 $\mathbb{T}^n$ 的积，确保模空间的有限性与紧致性。
• 该构造适用于爆炸流形族，格罗莫夫紧致性在拉回与纤维积下保持不变，从而在代数几何的退化情形中具有应用价值。
• 该框架包含示例，如 $\mathbb{T}^n$ 搭配零辛形式，以及紧致辛流形，其格罗莫夫紧致性通过细化与嵌入论证得以验证。