[论文解读] Gromov-Witten invariants of stable maps with fields

Huai-Liang Chang, Jun Li|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 19

一句话总结

本文通过基姆-李的余截面局部化方法，为 $\mathbb{P}^4$ 上带场的稳定映射构造了格罗莫夫-威滕不变量，证明其（符号相反）与五次卡拉比-丘三流形的格罗莫夫-威滕不变量一致。该构造为冈芬-夏普-维滕模型提供了数学实现，并为连接格罗莫夫-威滕理论与朗道-金兹堡模型的全亏格镜像对称程序提供了框架。

ABSTRACT

We construct the Gromov-Witten invariants of moduli of stable morphisms to $\Pf$ with fields. This is the all genus mathematical theory of the Guffin-Sharpe-Witten model, and is a modified twisted Gromov-Witten invariants of $\Pf$. These invariants are constructed using the cosection localization of Kiem-Li, an algebro-geometric analogue of Witten's perturbed equations in Landau-Ginzburg theory. We prove that these invariants coincide, up to sign, with the Gromov-Witten invariants of quintics.

研究动机与目标

• 为 Guffin-Sharpe-Witten 模型（目标为 $K_{\mathbb{P}^4}$ 且超势能为 $\mathbf{w}$ 的拓扑朗道-金兹堡理论）发展一个数学框架。
• 将格罗莫夫-威滕不变量的超平面性质从亏格零和一推广至所有亏格。
• 在非完备的稳定映射带场模空间上，提供局部化虚拟圈的几何构造。
• 通过维滕的规范-线性-σ 模型程序，建立五次三流形格罗莫夫-威滕理论与朗道-金兹堡模型之间的桥梁。
• 通过将 $K_{\mathbb{P}^4}$ 上的马斯性理论与线性朗道-金兹堡模型 $[\mathbb{C}^5/\mathbb{Z}_5]$ 关联，提出一种全亏格镜像对称的新方法。

提出的方法

• 引入稳定映射带 $p$-场的模空间 $\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p$，其中 $p$-场为 $u^*\mathcal{O}_{\mathbb{P}^4}(-5) \otimes \omega_C$ 的截面。
• 为该模空间配备一个完美障碍理论，并利用五次多项式 $\mathbf{w}$（如 $x_1^5 + \cdots + x_5^5$）构造障碍层的余截面 $\sigma$。
• 应用基姆-李的余截面局部化方法，定义一个在子堆栈 $\overline{\mathcal{M}}_g(Q,d)$ 上支撑的局部化虚拟圈 $[\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p]^{\mathrm{vir}}_\sigma$，其中 $Q$ 为五次三流形。
• 将格罗莫夫-威滕不变量定义为该局部化虚拟圈的次数：$N_g(d)^p_{\mathbb{P}^4} = \deg[\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p]^{\mathrm{vir}}_\sigma$。
• 使用退化技术证明这些不变量与五次 $Q$ 的标准格罗莫夫-威滕不变量相差一个符号因子 $(-1)^{5d+1-g}$。
• 将该构造与维滕的规范-线性-σ 模型关联，其中 $K_{\mathbb{P}^4}$ 上的马斯性理论与线性朗道-金兹堡模型 $[\mathbb{C}^5/\mathbb{Z}_5]$ 对偶。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用代数几何方法，为冈芬-夏普-维滕模型构造格罗莫夫-威滕不变量的数学实现？
• RQ2 余截面局部化技术是否能在非完备的带场稳定映射模空间上产生良定义的不变量？
• RQ3 具有超势能 $\mathbf{w}$ 的 $K_{\mathbb{P}^4}$-理论的不变量能否与五次三流形 $Q$ 的格罗莫夫-威滕不变量相关联？
• RQ4 能否通过修正的扭曲格罗莫夫-威滕理论，将超平面性质推广至所有亏格？
• RQ5 该框架能否作为格罗莫夫-威滕理论与朗道-金兹堡模型之间全亏格镜像对称程序的基础？

主要发现

• 尽管当 $g > 0$ 时模空间 $\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p$ 非完备，但通过基姆-李的余截面局部化，其格罗莫夫-威滕不变量仍可良好定义。
• 局部化虚拟圈 $[\overline{\mathcal{M}}_g(\mathbb{P}^4,d)^p]^{\mathrm{vir}}_\sigma$ 支撑于适当的子堆栈 $\overline{\mathcal{M}}_g(Q,d)$ 上，其中 $Q$ 为由 $\mathbf{w} = 0$ 定义的五次三流形。
• 不变量 $N_g(d)^p_{\mathbb{P}^4}$ 定义为该局部化虚拟圈的次数，且被证明与五次 $Q$ 的标准格罗莫夫-威滕不变量 $N_g(d)_Q$ 相差一个符号：$N_g(d)^p_{\mathbb{P}^4} = (-1)^{5d+1-g} N_g(d)_Q$。
• 该结果推广了康采维奇的亏格零公式，并在高亏格下提供了超平面性质的替代方案，从而实现全亏格不变量的统一方法。
• 该构造实现了维滕规范-线性-σ 模型的数学结构，将 $K_{\mathbb{P}^4}$ 上的马斯性理论与线性朗道-金兹堡模型 $[\mathbb{C}^5/\mathbb{Z}_5]$ 关联，提示了通往全亏格镜像对称的路径。
• 该方法为冈芬与夏普在亏格零下的路径积分计算提供了新的几何实现，现已推广至任意亏格。