[论文解读] Gromov-Witten Invariants of Symplectic Sums

Eleny-Nicoleta Ionel, Thomas H. Parker|ArXiv.org|Jun 3, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文建立了一种计算通过辛和构造形成的辛流形的格罗莫夫-威滕不变量的公式，该公式利用了构成部分的相对不变量。关键贡献是一个通用的粘合公式，使得能够从分量的不变量计算出总流形的不变量，从而为卡波拉斯-哈里森公式和有理椭圆曲面上有理不变量的模形式结构提供了新的证明。

ABSTRACT

The natural sum operation for symplectic manifolds is defined by gluing along codimension two submanifolds. Specifically, let X be a symplectic 2n-manifold with a symplectic (2n-2)-submanifold V. Given a similar pair (Y,W) with a symplectic identification V=W and a complex anti-linear isomorphism between the normal bundles of V and W, we can form the symplectic sum Z=X # Y. This note announces a general formula for computing the Gromov-Witten invariants of the sum Z in terms of relative Gromov-Witten invariants of (X,V) and (Y,W). Two applications are presented: a short derivation of the Caporaso-Harris formula [CH], and new proof that the rational enumerative invariants of the rational elliptic surface are given by the ``modular form'' (5.2).

研究动机与目标

• 开发一种通用公式，用于计算沿余维二子流形进行辛和构造所得的辛流形的格罗莫夫-威滕不变量。
• 将相对格罗莫夫-威滕不变量的框架扩展至辛和设定。
• 为辛几何中的枚举不变量提供一种新的计算工具。
• 将该公式应用于推导卡波拉斯-哈里森公式，并验证有理椭圆曲面上有理不变量的模形式结构。

提出的方法

• 通过沿公共辛子流形 V=W（余维为二）粘合两个辛流形 X 和 Y 来定义辛和运算。
• 要求 V 在 X 中的法丛与 W 在 Y 中的法丛之间存在复共轭线性同构，以确保辛粘合的相容性。
• 引入对偶对 (X,V) 和 (Y,W) 的相对格罗莫夫-威滕不变量，以编码与子流形 V=W 相交的曲线的几何性质。
• 构建一个粘合公式，将总流形 Z = X # Y 的不变量表示为 (X,V) 和 (Y,W) 的相对不变量乘积之和。
• 通过利用已知的相对不变量，应用该公式计算有理椭圆曲面的不变量。
• 使用该公式对复射影平面中计数有理曲线的卡波拉斯-哈里森公式进行简明推导。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从分量的不变量计算辛和的格罗莫夫-威滕不变量？
• RQ2 辛和构造的良定义性对法丛有何必要条件？
• RQ3 分量的相对格罗莫夫-威滕不变量是否能完全确定总空间的不变量？
• RQ4 粘合公式是否能恢复已知结果，例如卡波拉斯-哈里森公式？
• RQ5 有理椭圆曲面上有理枚举不变量的结构是否如预测的那样由模形式所描述？

主要发现

• 辛和流形 Z = X # Y 的格罗莫夫-威滕不变量通过涉及 (X,V) 和 (Y,W) 的相对不变量的精确粘合公式进行计算。
• 该公式为复射影平面中计数有理曲线的卡波拉斯-哈里森公式提供了新颖且简洁的推导。
• 有理椭圆曲面的有理枚举不变量被证明受模形式控制，证实了预测的结构。
• 在指定的几何条件下（包括法丛的共轭线性同构），粘合过程中使用的相对不变量是良定义的。
• 该方法在直接计算不可行的情况下成功计算了不变量，展示了其广泛适用性。