[论文解读] Gromov-Witten theory of $\mathrm{K3} imes \mathbb{P}^1$ and quasi-Jacobi forms

Georg Oberdieck|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用 5

一句话总结

该论文计算了 $Δ$K3 × ℕ^1$ 在曲线类 $(\beta,1)$ 和 $(\beta,2)$ 上的相对 Gromov-Witten 理论，证明其生成系列为拟雅克比形式，并与 K3 表面点的 Hilbert 模空间上的亏格 0 不变量相匹配。关键创新在于对 K3 表面上双椭圆曲线的亏格界，结合形式性质与低亏格计算，完全通过拟雅克比形式结构确定了不变量。

ABSTRACT

Let $S$ be a K3 surface with primitive curve class $β$. We solve the relative Gromov-Witten theory of $S imes \mathbb{P}^1$ in classes $(β,1)$ and $(β,2)$. The generating series are quasi-Jacobi forms and equal to a corresponding series of genus $0$ Gromov-Witten invariants on the Hilbert scheme of points of $S$. This proves a special case of a conjecture of Pandharipande and the author. The new geometric input of the paper is a genus bound for hyperelliptic curves on K3 surfaces proven by Ciliberto and Knutsen. By exploiting various formal properties we find that a key generating series is determined by the very first few coefficients. Let $E$ be an elliptic curve. As collorary of our computations we prove that Gromov-Witten invariants of $S imes E$ in classes $(β,1)$ and $(β,2)$ are coefficients of the reciprocal of the Igusa cusp form. We also calculate several linear Hodge integrals on the moduli space of stable maps to a K3 surface and the Gromov-Witten invariants of an abelian threefold in classes of type $(1,1,d)$.

研究动机与目标

• 计算 K3 表面 $\mathrm{K3}$ 上的原始曲线类 $\beta$ 对应的 $\mathrm{K3} \times \mathbb{P}^1$ 在曲线类 $(\beta,1)$ 和 $(\beta,2)$ 上的相对 Gromov-Witten 理论。
• 验证 Pandharipande 与 Oberdieck 提出的猜想在特殊情形下的正确性，该猜想将 $\mathrm{K3} \times \mathbb{P}^1$ 的相对 Gromov-Witten 理论与 K3 表面点的 Hilbert 模空间上的亏格 0 Gromov-Witten 理论联系起来。
• 确立不变量的生成系列为拟雅克比形式，提供强有力的结构约束与对称性。
• 推导出椭圆曲线 $E$ 满足 $S \times E$ 在类 $(\beta,1)$ 与 $(\beta,2)$ 上的 Gromov-Witten 不变量的显式公式，表明其为 Igusa 截触形式的倒数的系数。
• 计算稳定映射到 K3 表面的模空间上的线性 Hodge 积分，以及阿贝尔三倍体在类 $(1,1,d)$ 上的 Gromov-Witten 不变量。

提出的方法

• 利用 Ciliberto 与 Knutsen 证明的 K3 表面上双椭圆曲线的亏格界，限制了类 $(\beta,d)$ 中曲线可能的亏格。
• 应用拟雅克比形式的形式性质，表明类 $(\beta,2)$ 的生成系列由前几项系数完全决定，显著降低了计算负担。
• 采用带关联条件的相对 Gromov-Witten 理论处理 $S \times \mathbb{P}^1$，并使用退化技术将不变量与椭圆曲线及 $\mathbb{P}^1 \times E$ 上的不变量关联，利用 [32] 中已知结果。
• 运用局部化与退化公式计算 $\mathbb{P}^1 \times E$ 上的 Hodge 积分与 Gromov-Witten 不变量，将问题约化为单个椭圆曲线上的不变量。
• 应用 [28, 附录 B] 中拟雅克比形式代数的显式表示，以识别生成系列的结构。
• 利用 Gromov-Witten 不变量与 Igusa 截触形式之间的对应关系，表明 $S \times E$ 在类 $(\beta,1)$ 与 $(\beta,2)$ 上的不变量为 Igusa 截触形式倒数的系数。

实验结果

研究问题

• RQ1 K3×P¹ 在类 $(\beta,1)$ 与 $(\beta,2)$ 上的相对 Gromov-Witten 不变量是否由拟雅克比形式捕捉？
• RQ2 Ciliberto 与 Knutsen 建立的 K3 表面上双椭圆曲线的亏格界，是否可用于约束并计算 Gromov-Witten 不变量？
• RQ3 K3×P¹ 的相对 Gromov-Witten 理论与 K3 表面点的 Hilbert 模空间上的亏格 0 Gromov-Witten 理论之间是否存在精确对应？
• RQ4 $S \times E$ 在类 $(\beta,1)$ 与 $(\beta,2)$ 上的 Gromov-Witten 不变量是否为 Igusa 截触形式倒数的系数？
• RQ5 能否通过退化与局部化方法计算稳定映射到 K3 表面的模空间上的线性 Hodge 积分，以及阿贝尔三倍体在类 $(1,1,d)$ 上的 Gromov-Witten 不变量？

主要发现

• K3×P¹ 在类 $(\beta,1)$ 与 $(\beta,2)$ 上的相对 Gromov-Witten 不变量的生成系列为拟雅克比形式，证实了 Pandharipande 与 Oberdieck 猜想的关键预测。
• 类 $(\beta,2)$ 中的不变量完全由 Ciliberto 与 Knutsen 的亏格界，结合形式性质与前几项低亏格系数所决定。
• K3×P¹ 在类 $(\beta,1)$ 与 $(\beta,2)$ 上的生成系列与 K3 表面点的 Hilbert 模空间上的亏格 0 Gromov-Witten 不变量完全匹配。
• $S \times E$ 在类 $(\beta,1)$ 与 $(\beta,2)$ 上的 Gromov-Witten 不变量为 Igusa 截触形式倒数的系数，提供了精确的算术结构。
• 稳定映射到 K3 表面的模空间上的线性 Hodge 积分通过退化至 $\mathbb{P}^1 \times E$ 计算，从而约化为椭圆曲线上已知的不变量。
• 阿贝尔三倍体在类 $(1,1,d)$ 上的 Gromov-Witten 不变量被显式计算，其生成系列以 Eisenstein 系数与 Igusa 截触形式表示。