[论文解读] Moduli Spaces of Semistable Sheaves on Projective Deligne-Mumford Stacks

Fabio Nironi|ArXiv.org|Nov 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 42

一句话总结

本论文通过引入基于生成层和极化下的Gieseker型稳定性条件，建立了一个在射影Deligne-Mumford堆栈上构造半稳定层模空间的一般框架。证明了相干层堆栈是代数的并具有光滑局部图，将半稳定层的模堆栈构造为有限型全局商，并表明该构造可作为已知扭曲层和抛物丛模空间的特例被恢复。

ABSTRACT

We introduce a notion of Gieseker stability for coherent sheaves on tame Deligne-Mumford stacks with projective moduli scheme and some chosen generating sheaf on the stack in the sense of Olsson and Starr \cite{MR2007396}. We prove that this stability condition is open, and pure dimensional semistable sheaves form a bounded family. We explicitly construct the moduli stack of semistable sheaves as a finite type global quotient, and study the moduli scheme of stable sheaves and its natural compactification in the same spirit as the seminal paper of Simpson \cite{MR1307297}. With this general machinery we are able to retrieve, as special cases, results of Lieblich \cite{MR2309155} and Yoshioka \cite{MR2306170} about moduli of twisted sheaves and parabolic stability introduced by Maruyama-Yokogawa in \cite{MR1162674}.

研究动机与目标

• 为具有生成层和极化的可 tame 的射影Deligne-Mumford堆栈上的相干层定义Gieseker稳定性概念。
• 证明此类堆栈上的相干层堆栈是代数的，并通过Quot函子构造出显式的光滑局部图。
• 将半稳定层的模堆栈构造为有限型全局商，并研究其紧化。
• 证明根堆栈上半稳定层的模空间与基 scheme 上抛物层的模空间同构，从而恢复Maruyama-Yokogawa等人的结果。
• 在单一堆栈理论框架下统一并推广现有的扭曲层与抛物丛模构造。

提出的方法

• 基于通过映射到模空间并选取极化所定义的修正Hilbert多项式，引入稳定性条件。
• 使用Quot函子 $\mathcal{Q}_{N,m} = \operatorname{Quot}_{\mathcal{X}/S}(\mathcal{E}^{\oplus N} \otimes \pi^*\mathcal{O}_X(-m))$ 来参数化平坦商，这些函子由射影概形表示。
• 将堆栈 $\mathfrak{Coh}_{\mathcal{X}/S}$ 的光滑局部图构造为这些Quot概形中开子概形 $\coprod \mathcal{Q}^{0}_{N,m}$ 的不交并。
• 在可 tame 的设定下应用上同调与基变换、半连续性及平坦性判别法，确保稳定性的开性与半稳定族的有界性。
• 使用根构造将堆栈上的层与概形上的抛物层联系起来，证明平坦族与稳定性条件的等价性。
• 应用全局商堆栈的工具，将半稳定层的模堆栈构造为有限型Artin堆栈。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过生成层与极化，在射影Deligne-Mumford堆栈上的相干层上定义一种Gieseker型稳定性条件？
• RQ2 此类堆栈上的相干层堆栈是否为代数堆栈，且能否赋予显式的光滑局部图？
• RQ3 射影Deligne-Mumford堆栈上半稳定层的模堆栈是否允许有限型全局商构造？
• RQ4 该一般框架能否作为已知扭曲层与抛物丛模空间的特例被恢复？
• RQ5 根堆栈上半稳定层的模空间是否同构于基概形上抛物层的模空间？

主要发现

• 射影Deligne-Mumford堆栈上相干层堆栈 $\mathfrak{Coh}_{\mathcal{X}/S}$ 是代数堆栈，其光滑局部图由Quot概形中开子概形的不交并 $\coprod \mathcal{Q}^{0}_{N,m}$ 给出。
• 通过修正Hilbert多项式定义的稳定性条件是开的，且纯维半稳定层构成有界族。
• 半稳定层的模堆栈被构造为有限型全局商堆栈，推广了Simpson在堆栈上的方法。
• 对于根堆栈 $\mathcal{X} = \sqrt[d]{D/X}$ 与生成层 $\mathcal{E} = \bigoplus_{i=0}^d \mathcal{O}_{\mathcal{X}}(i\mathcal{D})$，半稳定层的模空间同构于具有固定权的抛物层的粗模空间。
• 堆栈 $\mathcal{X}$ 上半稳定层的模空间 $M^{ss}(\mathcal{O}_X(1), \mathcal{E}, P)$ 同构于Maruyama-Yokogawa [MY, 92, Def 1.14] 中定义的半稳定抛物层的粗模空间。
• 堆栈 $\mathcal{X}$ 上稳定层的模空间 $M^s(\mathcal{O}_X(1), \mathcal{E})$ 同构于 [MY, 92, Thm 3.6] 中定义的稳定抛物层的模空间。