[论文解读] Group approximation in Cayley topology and coarse geometry, Part I: Coarse embeddings of amenable groups

Masato Mimura, Hiroki Sako|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 46被引用 4

一句话总结

该论文通过其Cayley边界群的可约性，建立了有限Cayley图的粗不相交并集的性质A的刻画。利用标记群空间上的Cayley拓扑，证明了此类并集具有性质A当且仅当其Cayley边界中所有极限点（在标记群空间中）均为可约群，从而构造出在具有非平凡类型的Banach空间中具有或不具有粗嵌入的显式例子。

ABSTRACT

The objective of this series is to study metric geometric properties of (coarse) disjoint unions of amenable Cayley graphs. We employ the Cayley topology and observe connections between large scale structure of metric spaces and group properties of Cayley accumulation points. In this Part I, we prove that a disjoint union has property A of G. Yu if and only if all groups appearing as Cayley accumulation points in the space of marked groups are amenable. As an application, we construct two disjoint unions of finite special linear groups (and unimodular linear groups) with respect to two systems of generators that look similar such that one has property A and the other does not admit (fibred) coarse embeddings into any Banach space with non-trivial type (for instance, any uniformly convex Banach space).

研究动机与目标

• 建立有限Cayley图不相交并集的粗几何性质与其Cayley边界群的群论性质之间的联系。
• 利用标记群空间中极限点的可约性，刻画此类并集满足性质A的条件。
• 构造显式例子，展示具有相似局部结构的有限特殊线性群和单模群的不相交并集在粗嵌入性质上存在显著差异。
• 分析粗嵌入到Banach空间中的压缩函数，特别是具有非平凡类型的Banach空间。
• 证明某些自然图族（源自秩膨胀图）即使存在粗嵌入，其压缩性仍表现不佳。

提出的方法

• 在k-标记群空间上使用Cayley拓扑，通过Cayley图中根球的一致性分析有限群序列的收敛性。
• 将Cayley边界定义为k-标记群序列在紧致的标记群空间中的极限点集合。
• 利用可约群空间的均匀可约性与拓扑性质，刻画不相交并集中的性质A。
• 应用关于Banach谱间隙和(τ)-型常数的结果，以界定粗嵌入的压缩函数。
• 构造显式有限群族（例如SL(n, F_p)和单模群），其生成元产生相似的局部几何结构，但具有不同的全局粗几何性质。
• 利用谱间隙衰减与畸变估计，证明某些压缩函数即使在一致凸Banach空间中粗嵌入也无法实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限Cayley图的粗不相交并集何时具有性质A？
• RQ2 标记群序列的Cayley边界在何种群论条件下可确保或阻碍其粗嵌入到具有非平凡类型的Banach空间中？
• RQ3 两个具有相似局部Cayley图结构的有限群序列，是否可能产生粗几何性质截然不同的不相交并集？
• RQ4 此类不相交并集粗嵌入到Banach空间中的最优压缩函数是什么？其与谱间隙衰减有何关系？
• RQ5 源自秩膨胀图的自然图族是否即使存在粗嵌入，仍表现出差的压缩性？

主要发现

• 有限Cayley图的粗不相交并集具有性质A，当且仅当其Cayley边界中作为Cayley极限点出现的所有群均为可约群。
• 本文构造了两组关于不同生成元系统的有限特殊线性群与单模群的不相交并集：一组具有性质A，另一组则不具有（纤维）粗嵌入到任何具有非平凡类型的Banach空间中。
• 对于给定函数ρ，若ρ(r) ≍ (C′ log log r) ∨ 0对某个C′ > 0成立，则存在序列(n_m)，使得在不相交并集中粗嵌入条件(ρ, ω(r) = r)不成立，表明压缩性差。
• 所构造例子中的谱间隙衰减速率给出了(τ)-型常数的下界：𝒦^(τ)(G̃_m, E) ≥ 1/10000 m³ ε_E,p，该常数控制压缩函数。
• 这些例子是显式或半显式的；将系数环F_{p^{n_m}}替换为F_p[t]/(t^{n'_m} - t)可得到完全显式的构造版本，且保持相同的粗几何性质。
• 结果可推广至与满足特定(1.1)条件（其中β < 1/2）的复Banach空间球等价的Banach空间，该类空间包括所有具有非平凡类型的Banach空间。