[论文解读] Groupoid extensions, principal 2-group bundles and characteristic classes

Grégory Ginot, Mathieu Stiénon|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

本文建立了关于李群胚上的主2-群 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$-丛的莫里塔等价类与李群胚的 $G$-扩张之间的1-1对应关系，将这些对象识别为不同可微堆上的 $G$-2-丛。引入了通用特征类与狄姆耶-杜阿迪类，针对群胚中心的 $G$-扩张，证明二者一致且为整数类，推广了基于联络的不变量。

ABSTRACT

Let $G$ be a Lie group and $G o\Aut(G)$ be the canonical group homomorphism induced by the adjoint action of a group on itself. We give an explicit description of a 1-1 correspondence between Morita equivalence classes of, on the one hand, principal 2-group $[G o\Aut(G)]$-bundles over Lie groupoids and, on the other hand, $G$-extensions of Lie groupoids (i.e. between principal $[G o\Aut(G)]$-bundles over differentiable stacks and $G$-gerbes over differentiable stacks). This approach also allows us to identify $G$-bound gerbes and $[Z(G) o 1]$-group bundles over differentiable stacks, where $Z(G)$ is the center of $G$. We also introduce universal characteristic classes for 2-group bundles. For groupoid central $G$-extensions, we introduce Dixmier--Douady classes that can be computed from connection-type data generalizing the ones for bundle gerbes. We prove that these classes coincide with universal characteristic classes. As a corollary, we obtain further that Dixmier--Douady classes are integral.

研究动机与目标

• 建立关于李群胚上主 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$-丛的莫里塔等价类与李群胚的 $G$-扩张之间的1-1对应关系。
• 将 $G$-2-丛与不同可微堆上的 $[Z(G) \to 1]$-群丛相联系，其中 $Z(G)$ 是 $G$ 的中心。
• 为2-群丛引入并表征通用特征类。
• 通过联络型数据定义李群胚中心 $G$-扩张的狄姆耶-杜阿迪类。
• 证明这些狄姆耶-杜阿迪类与通用特征类一致且为整数类。

提出的方法

• 利用由伴随作用诱导的典范同态 $G \to \mathrm{Aut}(G)$ 来定义2-群 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$。
• 应用莫里塔等价来分类李群胚上的主2-群丛，并将其与 $G$-扩张联系起来。
• 通过中心 $G$-扩张上的联络型数据，引入特征类的几何构造。
• 使用群胚理论方法，建立不同可微堆上 $G$-2-丛与 $[Z(G) \to 1]$-群丛之间的对应关系。
• 通过上同调技术，将通用特征类作为2-群丛的不变量推导出来。
• 通过从联络数据出发的显式计算，证明狄姆耶-杜阿迪类与通用特征类一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在莫里塔等价下对李群胚上的主2-群 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$-丛进行分类？
• RQ2 不同可微堆上的 $G$-2-丛与 $[Z(G) \to 1]$-群丛之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否显式构造2-群丛的通用特征类，它们与几何不变量有何关系？
• RQ4 如何通过联络型数据将狄姆耶-杜阿迪类推广到李群胚的中心 $G$-扩张上？
• RQ5 所得的狄姆耶-杜阿迪类是否为整数类，且是否与通用特征类一致？

主要发现

• 建立了关于李群胚上主 $[G \to \mathrm{Aut}(G)]$-丛的莫里塔等价类与李群胚的 $G$-扩张之间的1-1对应关系。
• 本文将 $G$-2-丛与不同可微堆上的 $[Z(G) \to 1]$-群丛相联系，其中 $Z(G)$ 是 $G$ 的中心。
• 引入了2-群丛的通用特征类，并证明其可通过几何数据计算。
• 通过联络型数据定义了中心 $G$-扩张的狄姆耶-杜阿迪类，并证明其与通用特征类一致。
• 所得的狄姆耶-杜阿迪类为整数类，确认了其拓扑意义。
• 几何特征类与通用特征类的一致性，为2-群丛不变量提供了上同调表征。