[论文解读] Groupoid-theoretical methods in the mapping class groups of surfaces

Nariya Kawazumi, Yusuke Kuno|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用 15

一句话总结

本论文引入群胚理论方法，研究具有非连通边界的紧致定向曲面的映射类群，利用完备化戈德曼李代数推广德恩旋转变换，并定义一个几何约翰逊同态。它将‘最小’的托里基群嵌入由戈德曼李代数导出的pro-幂零群中，表明当边界连通时，该嵌入的分次商群恢复经典约翰逊同态。

ABSTRACT

We provide some language for algebraic study of the mapping class groups for surfaces with non-connected boundary. As applications, we generalize our previous results on Dehn twists to any compact connected oriented surfaces with non-empty boundary. Moreover we embed the `smallest' Torelli group in the sense of Putman into a pro-nilpotent group coming from the Goldman Lie algebra. The graded quotients of the embedding equal the Johnson homomorphisms of all degrees if the boundary is connected.

研究动机与目标

• 开发一个群胚理论框架，用于研究具有非连通边界的曲面的映射类群，其中标准的德恩-尼尔森同态不再单射。
• 将广义德恩旋转变换的理论——此前仅在单边界分量的亏格g曲面上研究过——推广到任意具有非空边界的紧致连通定向曲面。
• 利用完备化戈德曼李代数作为目标，为具有多个边界分量的曲面的托里基群构造一个几何约翰逊同态。
• 在曲面嵌入下建立约翰逊同态的自然性，确保其与曲面包含的一致性。
• 证明将‘最小’托里基群嵌入到pro-幂零群中时，其分次商群在边界连通时与经典约翰逊同态一致。

提出的方法

• 引入曲面Σg,r的基本群群胚的一个全子范畴C，每个边界分量至少包含一个基点，以恢复映射类群作用的单射性。
• 通过基本群的下中央列诱导的滤过，将戈德曼李代数完成化，定义完备化戈德曼李代数。
• 利用基本群的完成群环的导子，通过戈德曼括号建模映射类群的作用。
• 对嵌入i: S ↪ S′，构造一个李代数同态i: L+(S, E) → L+(S′, E′)，确保约翰逊同态与曲面包含的一致性。
• 将几何约翰逊同态τ: I(Σg,r, E) → L+(Σg,r, E)定义为嵌入到由完备化戈德曼李代数导出的pro-幂零李代数中。
• 利用普特曼关于托里基群生成元的结果，证明当r = 1时，τ的像完整捕捉了约翰逊滤过。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有多个边界分量的曲面上，如何研究映射类群作用，其中标准德恩-尼尔森同态不再单射？
• RQ2 能否在r ≥ 2的一般情形下，为非简单闭曲线（如八字形曲线）定义广义德恩旋转变换，并证明其在一般情形下无法由微分同胚实现？
• RQ3 当边界不连通时，更高阶约翰逊同态的合适李代数目标是什么？
• RQ4 约翰逊同态在曲面嵌入下如何表现？能否使其关于包含关系具有自然性？
• RQ5 在边界连通的情形下，几何约翰逊同态的分次商群在多大程度上恢复经典约翰逊同态？

主要发现

• 沿八字形曲线的广义德恩旋转变换无法由曲面的任何微分同胚实现，将[17]中的结果推广到所有具有非空边界的紧致连通定向曲面。
• 映射类群在群胚C上的作用是单射的，为研究具有多个边界分量的曲面提供了稳健的代数框架。
• 几何约翰逊同态τ将‘最小’托里基群（按普特曼的定义）嵌入到由完备化戈德曼李代数导出的pro-幂零李代数中。
• 当边界连通（r = 1）时，τ的分次商群同构于所有次数的经典约翰逊同态。
• 几何约翰逊同态τ关于曲面嵌入是自然的，由包含τ与诱导李代数同态i: L+(S, E) → L+(S′, E′)的交换图所示。
• 该构造与辛展开相容，并通过与−λθ的同构关系恢复马苏耶的总约翰逊映射，确认与现有理论的一致性。