[论文解读] Groupoids in categories with pretopology

Ralf Meyer, Chenchang Zhu|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 33被引用 22

一句话总结

本文在配备预拓扑的范畴中，为广群、广群作用及主丛建立了统一框架，推广了Hilsum–Skandalis态射与ana-函子等概念。它确立了通过双束（bibundles，即Hilsum–Skandalis态射）与通过双分叉（spans，即ana-函子）局部化函子的两种方法之间的等价性，并引入了‘基本作用’与‘作用者’等新概念，以在几何及无穷维情形下厘清Morita等价关系。

ABSTRACT

We survey the general theory of groupoids, groupoid actions, groupoid principal bundles, and various kinds of morphisms between groupoids in the framework of categories with pretopology. We study extra assumptions on pretopologies that are needed for this theory. We check these extra assumptions in several categories with pretopologies. Functors between groupoids may be localised at equivalences in two ways. One uses spans of functors, the other bibundles (commuting actions) of groupoids. We show that both approaches give equivalent bicategories. Another type of groupoid morphisms, called actors, are closely related to functors between the categories of groupoid actions. We also generalise actors using bibundles, and show that this gives another bicategory of groupoids.

研究动机与目标

• 将广群、作用与主丛的理论推广至任意配备预拓扑的范畴，扩展已知的拓扑与光滑范畴中的结果。
• 通过证明在适当条件下，函子、ana-函子、双束函子与作用者等广群态射的不同概念在2-范畴意义下等价，厘清其相互关系。
• 引入并研究‘基本作用’与‘基本广群’的概念，为几何范畴中的主广群作用提供新的刻画方式。
• 研究Morita等价在何种条件下表现良好，特别是无穷维与非Hausdorff情形下，并识别出在双商拓扑中的障碍。
• 确立ana-函子的2-范畴与双束函子的2-范畴之间的等价性，并证明ana-同构与双束等价性一致，从而统一了广群态射的两种主要方法。

提出的方法

• 在配备预拓扑的范畴中发展广群的一般理论，通过源映射与目标映射为预拓扑中覆盖的定义方式。
• 引入‘ana-函子’作为在等价关系处局部化的函子双分叉，引入‘双束函子’作为广群在空间上作用的交换性结构，二者均推广了Hilsum–Skandalis态射。
• 通过将双分叉映射为双束并反之的构造，证明ana-函子的2-范畴与双束函子的2-范畴之间存在等价。
• 将‘作用者’定义为保持广群作用范畴的函子，并通过双束将之推广为‘双束作用者’，证明其与标准作用者构造等价。
• 利用‘Čech广群’与‘基本作用’的概念刻画主丛，证明此类作用等价于投影为满射子mersures的主丛。
• 将理论应用于拓扑空间、流形（有限与无穷维）等范畴，证明当覆盖取为满射子mersures时，构造在局部凸流形上成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种预拓扑条件下，ana-函子与双束函子的2-范畴成为等价？
• RQ2 在何种条件下广群作用为‘基本’作用（即等价于主丛）？尤其在无穷维或非Hausdorff情形下？
• RQ3 当预拓扑为双商映射的典范拓扑时，广群的Morita等价是否仍为等价关系？
• RQ4 能否通过双束推广‘作用者’的概念，从而得到与标准作用者范畴等价的2-范畴？
• RQ5 广群作用在预拓扑意义下局部平凡的充要条件为何？其与局部截面存在性的关系如何？

主要发现

• 在覆盖为满射子mersures的预拓扑范畴中（如有限维与无穷维流形），ana-函子的2-范畴与双束函子的2-范畴等价。
• ana-函子等价与双束等价一致，为不同形式体系下的Morita等价提供了统一概念。
• 当覆盖取为满射子mersures时，局部凸流形上的广群作用与主丛理论表现良好，但覆盖双束函子与双束作用者需更强假设。
• 在配备双商预拓扑的Hausdorff拓扑空间范畴中，等价广群的范畴作用可能不等价，提示Morita等价可能不保持为等价关系。
• 在有限维与Hilbert流形中，广群作用为基本作用（即诱导主丛）当且仅当其自由且完备；但在Banach与局部凸流形中，由于缺乏补子空间，该结论不成立。
• 基本作用的轨道空间在唯一光滑流形结构下使投影映射成为满射子mersure，且该作用在预拓扑意义下局部平凡。