[论文解读] Groupoids, root systems and weak order II

Matthew Dyer|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 18被引用 6

一句话总结

本文通过从群胚与生成元、图、布尔环的子集以及定向拟阵等不同数学对象构造原型根oid，扩展了根oid与原型根oid的理论——这些抽象结构概括了考克斯eter群、根系统与弱序等概念。研究建立了关于态射、正方形及高维立方体结构的基础结果，表明函子根oid与对称立方体 $\omega$-根oid 自然出现，即使在有限考克斯eter系统中也存在非平凡例子。

ABSTRACT

This is the second introductory paper concerning structures called rootoids and protorootoids, the definition of which is abstracted from formal properties of Coxeter groups with their root systems and weak orders. The ubiquity of protorootoids is shown by attaching them to structures such as groupoids with generators, to simple graphs, to subsets of Boolean rings, to possibly infinite oriented matroids, and to groupoids with a specified preorder on each set of morphisms with fixed codomain; in each case, the condition that the structure give rise to a rootoid defines an interesting subclass of these structures. The paper also gives non-trivial examples of morphisms of rootoids and describes (without proof, and partly informally) some main ideas, results and questions from subsequent papers of the series, including the basic facts about principal rootoids and functor rootoids which together provide the raison d'être for these papers.

研究动机与目标

• 将考克斯eter群及其根系统的代数与序理论结构推广至根oid与原型根oid的更广泛框架。
• 通过从群胚与生成元集、简单图、布尔环子集以及无限定向拟阵等多样数学对象构造原型根oid，展示其普遍性。
• 通过在根oid语境下引入 $n$-立方体与立方体 $\omega$-群胚，为高阶范畴结构奠定基础，从而实现根oid理论的高阶范畴解释。
• 建立根oid态射的基础结果，特别是通过 AOP（抽象正交性）性质，表明其如何蕴含预主性与 braid 关系等关键结构性质。
• 启动原型根oid的完备化与反射子范畴理论的发展，其动机源于关于反射序与正则根oid的猜想。

提出的方法

• 从一个关于逆运算封闭且不包含单位元的生成元集 $S$ 的群胚 $G$ 构造原型根oid，推广了考克斯eter群的标准根系统构造。
• 引入 $C_2$-系统概念，即满足其关联原型根oid为根oid的对 $(G,S)$，并通过 braid 表示与符号特征标对其进行刻画。
• 在原型根oid ${\mathscr{R}} = (G, \Lambda, N)$ 中定义正方形为满足 $xy = zw$、$x(N(y)) = N(z)$ 与 $N(x)N(z) = 0$ 的交换图，且相邻态射满足正交性条件。
• 建立刚性性质：在忠实原型根oid中，正方形由任意两条相邻边唯一确定。
• 引入从原型根oid到群胚预序的遗忘函子 $\mathfrak{P}$ 的左伴随 $\mathfrak{Q}$，表明原型根oid性群胚预序的全子范畴是反射的。
• 从根oid ${\mathscr{R}}$ 构造对称立方体 $\omega$-根oid ${\mathscr{R}}^\omega$，其中 $n$-立方体构成一个具有 $n$ 个自然复合结构的立方集，且每个 $n$-复合群胚继承根oid结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些带有生成元集的群胚能产生 $C_2$-系统？其 braid 关系与符号特征标如何与简化的主根oid相关？
• RQ2 从图、布尔环子集或定向拟阵构造的原型根oid在多大程度上能产生根oid？这些结构类具有何种结构性质？
• RQ3 覆盖根oid与覆盖商根oid的概念如何允许我们将连通根oid描述为源自普遍构造的单连通根oid的商？
• RQ4 AOP（抽象正交性）在证明考克斯eter群 $W$ 在图自同构群 $G$ 作用下的固定点群 $W^G$ 本身也是考克斯eter群的过程中起什么作用？
• RQ5 函子根oid与立方体 $\omega$-根oid理论能否扩展至包含超越 $1$-上循环条件的更高阶上循环？这对高阶范畴理论有何影响？

主要发现

• 对于有限二面体群，根系统中 $R$-不变子集的数量为 26，超过群的阶（24），表明函子根oid理论具有非平凡性。
• 定义 $N$ 为考克斯eter系统 $(W,S)$ 的有限标准抛物子群的秩的上确界，其值等于在关联根oid ${\mathscr{C}}_{(W,S)}$ 中存在非平凡 $n$-立方体的最大 $n$。
• 从 $W$ 到 $\tensor*[_{a}]{{\mathscr{X}}}{}$ 的 $R$-不变子集的映射在有限二面体群中是双射，但一般情况下并非如此，表明在更大群中存在非平凡结构。
• 对称立方体 $\omega$-根oid ${\mathscr{R}}^\omega$ 配备了超八面体群 $B_n$ 的自然作用，且与 $n$-立方体复合结构相容。
• $n$-立方体构成的根oid ${\mathscr{R}}$ 是一个具有 $n$ 个自然复合结构的立方集，且 $n$-复合 $n$-立方体形成一个无连接的立方体 $\omega$-群胚。
• 根oid的弱序同构于完全正交格的序理想，该结果若根oid存在完备化则可直接推出。