[论文解读] On rigidity of abstract root systems of Coxeter systems

Matthew Dyer|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文通过引入一种不依赖线性结构的、与线性结构无关的根基组合框架，建立了考克斯eter群中抽象根系的刚性。证明了对于不可约考克斯eter系统（无论有限或无限秩），根基在符号意义下局部共轭，仅存在少数例外情况，将经典关于外尔群和有限考克斯eter群的结果推广至更广泛的根系类别，采用抽象代数与序理论方法。

ABSTRACT

We introduce and study a combinatorially defined notion of root basis of a (real) root system of a possibly infinite Coxeter group. Known results on conjugacy up to sign of root bases of certain irreducible finite rank real root systems are extended to abstract root bases, to a larger class of real root systems, and, with a short list of (genuine) exceptions, to infinite rank irreducible Coxeter systems.

研究动机与目标

• 将经典结果（有限外尔群的根基在群作用下共轭）推广至无限及抽象根系。
• 以组合方式定义并研究抽象根基，不依赖实向量空间的线性结构。
• 将符号意义下的共轭结果推广至更广类别的实根系，包括来自非整数广义卡坦矩阵的根系。
• 识别并分类局部共轭失效的例外情况，尤其在无限秩情形下。
• 证明抽象根基恰好对应于考克斯eter群根系中抽象正系统之单根。

提出的方法

• 通过集合 Φ 上 {±1} 的作用及映射 α ↦ sα 到 Φ 上的对称群，引入抽象根系的概念，保持反射结构。
• 将抽象正系统定义为闭集、生成集且拟正的子集 Φ，其单根构成根基。
• 利用“中间性”（γ = aα + bβ，其中 a,b ≥ 0）定义 Φ 的闭子集，确保与根系闭包相容。
• 通过一族 (ωi)i∈I 的字典序总序 ≤lex 定义反射序与扭曲布吕赫特预序。
• 构造反射上链 N: G → P(T)，并用其定义扭曲布吕赫特预序 ≤A，在适当条件下证明其为偏序。
• 运用序理论论证与对偶空间 V∨ 的对偶性，分析根系及其对称性的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，考克斯eter群的两个抽象根基在符号意义下局部共轭？
• RQ2 如何在不参考实向量空间的前提下，纯粹以组合方式刻画根基？
• RQ3 抽象根系与底层考克斯eter系统 (W,S) 之间存在何种关系，特别是当 (W,S) 与 (W,S′) 作为考克斯eter系统不构同之时？
• RQ4 哪些无限秩考克斯eter系统不满足根基在符号意义下的局部 W-共轭？其例外类型为何？
• RQ5 当形式为正定时，不同选择 A 与总序下，扭曲布吕赫特序 ≤A 是否仍彼此同构？

主要发现

• 对任意不可约考克斯eter系统 (W,S)，两个抽象正系统 Ψ+ 与 Ψ′+ 的有限秩抛物子群同构，即使 (W,S) 与 (W,S′) 作为考克斯eter系统不构同。
• 唯一不满足 W-共轭（符号意义下）的例外情况是：一个系统为 A∞，另一个为 A∞,∞，二者不构同但反射构同。
• 子集 Δ ⊆ Φ 是根基，当且仅当它是 Φ 某个抽象正系统的单根集合。
• 对有限秩系统，符号共轭结果中的共轭元素 σ 始终属于 W，且当 W 有限且 ε = 1 时，σ 与 ε 唯一确定。
• 当形式为正定时，所有扭曲布吕赫特序 ≤A 同构于标准序 ≤∅，意味着同构意义下仅存在唯一序类型。
• 正交群上的弱序 ≤w 不一定是格，且根据总序与基的选择，可能产生多个非同构的弱序与布吕赫特序。