[论文解读] Groups acting on products of trees, tiling systems and analytic K-theory

Jason Kimberley, Guyan Robertson|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文通过将BM群——在两个偶数度数≥4的齐次树的积上自由且本征作用的无挠离散子群——与高秩Cuntz-Krieger代数相关联，研究了这些群。该文推导出该代数K-理论的显式公式，证明了K₀ = K₁，并表明单位元的类是挠元。对于度数为4的树，本文完全分类了所有此类群，并计算了它们的K-群，提供了完整的枚举和K-理论不变量。

ABSTRACT

Let $T_1$ and $T_2$ be homogeneous trees of even degree $\ge 4$. A BM group $Γ$ is a torsion free discrete subgroup of $\aut (T_1) imes \aut (T_2)$ which acts freely and transitively on the vertex set of $T_1 imes T_2$. This article studies dynamical systems associated with BM groups. A higher rank Cuntz-Krieger algebra $\mathcal A(\G)$ is associated both with a 2-dimensional tiling system and with a boundary action of a BM group $Γ$. An explicit expression is given for the K-theory of $\mathcal A(\G)$. In particular $K_0=K_1$. A complete enumeration of possible BM groups $\G$ is given for a product homogeneous trees of degree 4, and the K-groups are computed.

研究动机与目标

• 研究BM群在齐次树积上作用所关联的动力系统与C*-代数。
• 计算与之关联的高秩Cuntz-Krieger代数的K-理论，特别是确立K₀ = K₁。
• 对作用于度数为4的齐次树积上的所有BM群提供完全分类。
• 计算度数为4情况下所有此类BM群的交换化和K-群。
• 通过C*-代数不变量建立平铺系统、边界作用与分析K-理论之间的联系。

提出的方法

• 从BM群Γ在T₁ × T₂上作用所产生的二维平铺系统构造一个高秩Cuntz-Krieger代数A(Γ)。
• 将A(Γ)识别为Γ的边界作用的半直积C*-代数，利用[RS1]中的结果进行简化与分类。
• 应用[RS2]中的K-理论工具，推导出秩-2情形下K₀(𝒜(Γ))与K₁(𝒜(Γ))的显式表达式。
• 利用T₁ × T₂上顶点的类型映射来刻画自同构，并证明类型旋转自同构恰好是树自同构的乘积。
• 采用组合与群论技术，枚举所有作用于度数为4的齐次树的BM群。
• 通过群的表示和结构性质计算交换化和K-群。

实验结果

研究问题

• RQ1 作用于偶数度数≥4的齐次树积上的BM群所关联的C*-代数的K-理论是什么？
• RQ2 在此类C*-代数中，K₀群与K₁群之间有何关系？
• RQ3 能否对作用于度数为4的齐次树积上的所有BM群进行完全分类？
• RQ4 此类代数中，K₀(𝒜(Γ))内单位元的类是否为挠元？
• RQ5 在度数为4的情况下，每个BM群的交换化与K-理论结构如何？

主要发现

• 对于所有作用于度数为4的齐次树积上的BM群，提供了52个不同群的完整列表，并给出了显式表示。
• 所有此类群所关联的C*-代数的K-理论满足K₀(𝒜(Γ)) = K₁(𝒜(Γ))。
• 单位元在K₀(𝒜(Γ))中的类是挠元，如命题5.4所示。
• 对于度数为4的52个BM群，其K-群已显式计算并列成表格，每个群的K₀与K₁值均已给出。
• C*-代数𝒜(Γ)是纯无穷、简单、有单位元且核化的，因此完全由其K-理论分类。
• 由群作用导出的平铺系统产生一个与边界作用的半直积同构的Cuntz-Krieger代数。