[论文解读] Groups with no coarse embeddings into hyperbolic groups

David Hume, Alessandro Sisto|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文引入了一种几何障碍——'指数级数量的肥大双三角形'——用于解释有限生成群无法粗略嵌入有界度数的双曲图。证明了具有指数增长和线性发散性的群（如非虚拟幂零的可解群和高秩格）由于该性质在粗嵌入下保持不变，无法粗略嵌入到双曲群中。

ABSTRACT

We introduce an obstruction to the existence of a coarse embedding of a given group or space into a hyperbolic group, or more generally into a hyperbolic graph of bounded degree. The condition we consider is "admitting exponentially many fat bigons", and it is preserved by a coarse embedding between graphs with bounded degree. Groups with exponential growth and linear divergence (such as direct products of two groups one of which has exponential growth, solvable groups that are not virtually nilpotent, and uniform higher-rank lattices) have this property and hyperbolic graphs do not, so the former cannot be coarsely embedded into the latter. Other examples include certain lacunary hyperbolic and certain small cancellation groups.

研究动机与目标

• 识别一种几何障碍，阻止某些有限生成群粗略嵌入有界度数的双曲图。
• 确立群的凯莱图中存在指数级数量的肥大双三角形会阻碍其粗略嵌入到双曲图中。
• 将已知障碍从代数结构（例如，鲍姆斯拉格-索利特尔子群）扩展到几何和增长理论性质。
• 提出一种新判据——指数增长结合线性发散——用于判断群无法嵌入到双曲群中。
• 证明该障碍适用于一大类群，包括可解群、雅可比积群以及某些小扩张群。

提出的方法

• 将'肥大双三角形'定义为三元点组，其测地线在中间部分彼此保持较远距离，形成一个厚三角形。
• 引入$(D,s,2s)$-双三角形的概念，其中路径避开测地线段的邻域。
• 使用发散函数$Div(n)$来限制避开测地线邻域球体的路径长度，将线性发散与此类双三角形的存在性联系起来。
• 证明若对无限多个$n$有$Div(n) \leq Cn$，且群具有指数增长，则其存在指数级数量的肥大双三角形。
• 将结果应用于具体类群：通过拟等距嵌入，应用于直积、可解群、高秩格群和雅可比积群。
• 通过使用长度递增的关系式和$C'(1/6)$-条件，显式构造具有指数级数量长且不重叠关系式的群，从而构造出具有指数级数量肥大双三角形的小扩张群。

实验结果

研究问题

• RQ1 指数级数量的肥大双三角形的存在是否可作为阻碍粗略嵌入到双曲图中的几何障碍？
• RQ2 哪些具有指数增长和线性发散性的群会因该障碍而无法粗略嵌入到双曲群中？
• RQ3 具有指数级数量长且不重叠关系式的小扩张群是否具有肥大双三角形，因此无法嵌入到双曲图中？
• RQ4 在有界度数图之间的粗略嵌入下，'存在指数级数量肥大双三角形'这一性质是否保持不变？
• RQ5 该障碍是否能将非虚拟幂零的可解群与那些可粗略嵌入到双曲群中的群区分开来？

主要发现

• 具有指数增长和线性发散性的群——如非虚拟幂零的可解群和均匀高秩格群——具有指数级数量的肥大双三角形。
• 在有界度数图之间粗略嵌入下，'存在指数级数量肥大双三角形'这一性质保持不变。
• 有界度数的双曲图不具有指数级数量的肥大双三角形，因此任何具有此性质的群都无法粗略嵌入其中。
• 当$G$为虚拟可解群时，群$G$粗略嵌入到双曲群当且仅当$G$为虚拟幂零群。
• 对于鲍姆斯拉格-索利特尔群$BS(m,n)$，其粗略嵌入到双曲群中仅当$m=0$或$|n|\leq1$时成立；否则该群具有指数增长和线性发散。
• 通过$C'(1/6)$关系式和指数级数量长且不重叠关系式的显式构造，可得到具有指数级数量肥大双三角形的群，从而证明其不是双曲群的子群。