[论文解读] Guaranteed error control bounds for the stabilised space-time IgA approximations to parabolic problems

Ulrich Langer, Svetlana Matculevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 9被引用 6

一句话总结

本论文针对抛物型初边值问题的时空等几何分析（IgA）逼近，基于稳定化变分格式，提出了保证性、完全可计算的后验误差界。基于泛函分析与积分恒等式，该方法导出与网格无关的误差上界，适用于能量空间中的任意逼近，从而可通过局部误差指标实现可靠且高效的自适应加密，数值结果证实了其在复杂、奇异及非平凡几何中的高效率与高可靠性。

ABSTRACT

The paper is concerned with space-time IgA approximations of parabolic initial-boundary value problems. We deduce guaranteed and fully computable error bounds adapted to special features of IgA approximations and investigate their applicability. The derivation method is based on the analysis of respective integral identities and purely functional arguments. Therefore, the estimates do not contain mesh-dependent constants and are valid for any approximation from the admissible (energy) class. In particular, they provide computable error bounds for norms associated with stabilised space-time IgA approximations as well as imply efficient error indicators enhancing the performance of fully adaptive solvers. The last section of the paper contains a series of numerical examples where approximate solutions are recovered by IgA techniques. The mesh refinement algorithm is governed by a local error indicator generated by the error majorant. Numerical results discussed in the last section illustrate both reliability, as well as the quantitative efficiency of the error estimates presented.

研究动机与目标

• 开发稳定化时空IgA逼近抛物问题的可靠且完全可计算的后验误差估计。
• 确保误差界对任意在容许能量空间中的逼近均有效，且与网格尺寸无关。
• 利用来自误差上界函数的局部误差指标，实现高效的自适应网格加密。
• 在复杂、非平凡几何及奇异解情形下，展示所提误差估计的效率与可靠性。

提出的方法

• 基于积分恒等式与纯泛函论证，推导功能性后验误差估计，避免使用与网格相关的常数。
• 采用基于流线扩散与时间迎风测试函数的稳定化时空变分格式。
• 构建能量误差范数的保证性上界（上界函数）与下界（下界函数）。
• 将上界函数的局部贡献用作IgA中自适应网格加密的误差指标。
• 采用THB样条实现时空IgA离散化中的非结构化、局部加密。
• 通过最小化上界函数，获得高度精确的上界误差估计，效率指数接近于1。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖与网格相关的常数前提下，为稳定化时空IgA逼近抛物问题推导出保证性、完全可计算的误差界？
• RQ2 与现有后验误差界相比，所提出的泛函型误差估计在可靠性与效率方面表现如何？
• RQ3 上界函数的局部贡献能否作为IgA中自适应网格加密的有效且可靠的误差指标？
• RQ4 评估误差界所需的计算成本与时空IgA解组装的计算成本相比如何？
• RQ5 基于误差上界函数的自适应加密策略在处理奇异解与复杂几何时的效率如何？

主要发现

• 所提泛函型后验误差估计具有保证性、完全可计算性，且对能量空间中任意逼近均有效，不依赖于与网格相关的常数。
• 误差上界函数的效率指数始终接近于1，表明其上界质量优良。
• 由上界函数局部贡献驱动的自适应加密实现了最优收敛率，相较于均匀加密，收敛阶数得到显著提升。
• 在所测试的算例中，计算误差界的成本仅为计算IgA解成本的一小部分。
• 基于时空THB样条的自适应方案能高效处理具有奇异性与复杂几何的问题，在各类测试算例中表现出稳健性能。