[论文解读] Guarded Cubical Type Theory: Path Equality for Guarded Recursion

Lars Birkedal, Aleš Bizjak+4 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 21被引用 8

一句话总结

本文提出了有界立方类型理论（GCTT），将立方类型理论的计算路径等式与有界依赖类型理论的有界递归统一起来。通过将立方类型理论中的区间类型整合到有界递归中以控制不动点的展开，GCTT 实现了可判定的类型检查与典范性，同时支持对有界递归类型（包括共归纳构造）的非平凡扩展等式证明。

ABSTRACT

This paper improves the treatment of equality in guarded dependent type theory (GDTT), by combining it with cubical type theory (CTT). GDTT is an extensional type theory with guarded recursive types, which are useful for building models of program logics, and for programming and reasoning with coinductive types. We wish to implement GDTT with decidable type-checking, while still supporting non-trivial equality proofs that reason about the extensions of guarded recursive constructions. CTT is a variation of Martin-Löf type theory in which the identity type is replaced by abstract paths between terms. CTT provides a computational interpretation of functional extensionality, is conjectured to have decidable type checking, and has an implemented type-checker. Our new type theory, called guarded cubical type theory, provides a computational interpretation of extensionality for guarded recursive types. This further expands the foundations of CTT as a basis for formalisation in mathematics and computer science. We present examples to demonstrate the expressivity of our type theory, all of which have been checked using a prototype type-checker implementation, and present semantics in a presheaf category.

研究动机与目标

• 为了解决由于等式反射导致的有界依赖类型理论（GDTT）中类型检查不可判定的问题。
• 在不牺牲典范性或可判定性的前提下，支持对有界递归类型进行非平凡的扩展等式证明。
• 通过立方类型理论（CTT）中的路径等式，为有界递归类型的扩展性提供计算解释。
• 在范畴 $\mathcal{C} \times \omega$ 上的预层拓扑斯中，为 GCTT 建立一个可靠的范畴语义。
• 为在具有可判定类型检查与计算等式的类型理论中形式化程序逻辑与共归纳推理奠定基础。

提出的方法

• 通过将立方类型理论（CTT）中的区间类型 $\mathbb{I}$ 整合到有界依赖类型理论（GDTT）中，以控制不动点的展开，实现 GDTT 与 CTT 的结合。
• 使用路径类型而非归纳的恒等类型，从而为函数扩展性与有界扩展性提供计算解释。
• 定义了一个新的类型构造子 $\triangleright$ 用于表示“延迟”类型，并通过基于路径的等式规则，支持对有界递归构造扩展性的推理。
• 在预层拓扑斯 $\widehat{\mathcal{C} \times \omega}$ 中构建了 GCTT 的模型，利用立方集中的纤维化结构与具有德摩根代数结构的内部逻辑。
• 使用原型类型检查器验证了示例，包括关于流函数与有界不动点的证明。
• 利用立方集的内部逻辑来建模恒等类型，并在有界递归存在的情况下确保一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 立方类型理论中的路径等式能否在不使用等式反射的前提下，为有界递归类型的扩展性提供计算解释？
• RQ2 有界立方类型理论能否在支持可判定类型检查与典范性的同时，实现对有界递归构造扩展性的非平凡证明？
• RQ3 立方类型理论中的区间类型如何用于控制有界递归类型中不动点的展开？
• RQ4 何种范畴语义能够支持有界立方类型理论在预层拓扑斯中的可靠性？
• RQ5 在 $\triangleright$ 与路径类型之间的交互原则如何在构造性且计算上有意义的方式下，支持对共归纳类型的推理？

主要发现

• 有界立方类型理论（GCTT）成功地将立方类型理论的基于路径的等式与有界依赖类型理论的递归相结合，实现了无需等式反射的扩展性推理。
• 该理论支持有界扩展性的计算解释：类型 $\triangleright \operatorname{Id} A\, t\, u$ 的项可映射为路径 $\operatorname{Id} (\triangleright A)\, (\mathsf{next}\, t)\, (\mathsf{next}\, u)$。
• 在预层拓扑斯 $\widehat{\mathcal{C} \times \omega}$ 中建立了 GCTT 的可靠语义，利用立方集中的纤维化结构与具有析取性质的内部德摩根代数。
• 该模型支持立方集的完整内部逻辑，包括复合操作与纤维类型族的类型，从而为扩展了有界递归的 CTT 提供了完整模型。
• 涉及流函数与有界不动点的示例已在原型实现中被正式检查，验证了系统的表达力与正确性。
• 该方法为在具有可判定类型检查与典范性的类型理论中形式化程序逻辑与共归纳推理提供了基础，该结论得到了原型实现的支持。