[论文解读] H$^+$-Eigenvalues of Laplacian and Signless Laplacian Tensors

Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 18被引用 22

一句话总结

本文通过将经典矩阵形式推广到高阶张量，提出了一种简单且自然的统一超图拉普拉斯张量与符号无符号拉普拉斯张量的定义。研究证明，每个张量最多只有一个 H++-特征值（对应正特征向量），并刻画了最大与最小的 H+-特征值，进一步证明了通过最小正 H+-特征值定义的解析连通性，可作为边连通性的下界。

ABSTRACT

We propose a simple and natural definition for the Laplacian and the signless Laplacian tensors of a uniform hypergraph. We study their H$^+$-eigenvalues, i.e., H-eigenvalues with nonnegative H-eigenvectors, and H$^{++}$-eigenvalues, i.e., H-eigenvalues with positive H-eigenvectors. We show that each of the Laplacian tensor, the signless Laplacian tensor and the adjacency tensor has at most one H$^{++}$-eigenvalue, but has several other H$^+$-eigenvalues. We identify their largest and smallest H$^+$-eigenvalues, and establish some maximum and minimum properties of these H$^+$-eigenvalues. We then define analytic connectivity of a uniform hypergraph and discuss its application in edge connectivity.

研究动机与目标

• 以一种简单且自然的方式定义统一超图的拉普拉斯与符号无符号拉普拉斯张量，使其能推广至矩阵情形。
• 研究这些张量的谱性质，特别关注具有非负特征向量的 H+-特征值以及具有正特征向量的 H++-特征值。
• 建立 H+-特征值的最大与最小性质，并将解析连通性定义为边连通性的谱度量。
• 通过张量特征值方法，为谱超图理论提供理论基础，尤其针对非负张量与 M-张量结构的张量。

提出的方法

• 将拉普拉斯张量定义为 $\mathcal{L} = \mathcal{D} - \mathcal{A}$，符号无符号拉普拉斯张量定义为 $\mathcal{Q} = \mathcal{D} + \mathcal{A}$，其中 $\mathcal{A}$ 为邻接张量，$\mathcal{D}$ 为度张量。
• 采用标准张量特征值框架，特别是 H-特征值，分析在非负与正特征向量约束下的谱性质。
• 利用变分原理与在非负单位球面上的优化，刻画最小与最大的 H+-特征值。
• 将解析连通性 $\alpha(G)$ 定义为拉普拉斯张量 $\mathcal{L}$ 的最小正 H+-特征值，并通过不等式将其与边连通性关联。
• 利用当超图连通时 $\mathcal{L}$ 与 $\mathcal{Q}$ 的对称性与弱不可约性，推导谱界。
• 通过在顶点子集上优化且其分量为零的情况，建立 $\alpha(G)$ 的界，导出涉及边割与度数的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于统一超图（包括偶数阶以外的情形），是否存在一种自然且可推广的拉普拉斯与符号无符号拉普拉斯张量的定义？
• RQ2 拉普拉斯与符号无符号拉普拉斯张量最多可有多少个 H++-特征值？其结构意义为何？
• RQ3 这些张量的极值 H+-特征值是什么？它们与超图连通性的关系如何？
• RQ4 通过最小正 H+-特征值定义的解析连通性，能否作为超图边连通性的下界？
• RQ5 与文献中其他基于张量的邻接张量及拉普拉斯张量相比，$\mathcal{L}$ 与 $\mathcal{Q}$ 的谱性质有何异同？

主要发现

• 拉普拉斯张量 $\mathcal{L}$ 与符号无符号拉普拉斯张量 $\mathcal{Q}$ 各自最多有一个 H++-特征值，对应于正的 H-特征向量。
• $\mathcal{L}$ 的最大 H+-特征值上界为最大度 $\Delta$，当超图不连通时最小 H+-特征值为零。
• 解析连通性 $\alpha(G)$ 定义为 $\mathcal{L}$ 的最小正 H+-特征值，满足 $0 \leq \alpha(G) \leq \delta$，其中 $\delta$ 为最小度。
• 对任意非空真子集 $S \subset V$，边割大小满足 $|E(S, \bar{S})| \geq \frac{n}{k} \alpha(G)$，从而推出 $e(G) \geq \frac{n}{k} \alpha(G)$。
• 当超图不连通时 $\alpha(G) = 0$，当其连通时 $\alpha(G) > 0$，在正则超图中 $\alpha(G)$ 可能等于 $\delta$。
• 通过一个 3-一致超图（4 个顶点）的例子表明，$\alpha(G)$ 的精确值可严格小于 $\delta$，即 $\alpha(G) = 1 - \beta^2 < 1 = \delta$，其中 $\beta$ 满足 $\beta + \beta^3 = 1$。