[论文解读] Hölder continuity and injectivity of optimal maps

Alessio Figalli, Young‐Heon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 1被引用 9

一句话总结

该论文在成本函数具有有界且非退化密度的条件下，建立了最优传输映射的局部 Hölder 连续性与单射性，条件为 (A3)w。通过引入一种使 c-凸函数的等值集凸化的坐标变换，推导出新的 Alexandrov 型估计，并证明一个关于内部点与边界点混合的拓扑引理，作者表明最优映射属于局部 $ C^{1,\alpha} $，其中 Hölder 指数 $ \alpha > 0 $ 仅依赖于维度和密度界，而不依赖于成本函数。

ABSTRACT

Consider transportation of one distribution of mass onto another, chosen to optimize the total expected cost, where cost per unit mass transported from x to y is given by a smooth function c(x,y). If the source density f^+(x) is bounded away from zero and infinity in an open region U' \subset R^n, and the target density f^-(y) is bounded away from zero and infinity on its support \cl V \subset R^n, which is strongly c-convex with respect to U', and the transportation cost c satisfies the A3w condition of Trudinger and Wang \cite{TrudingerWang07p}, we deduce local Hölder continuity and injectivity of the optimal map inside U' (so that the associated potential u belongs to C^{1,α}_{loc}(\U')). Here the exponent α>0 depends only on the dimension and the bounds on the densities, but not on c. Our result provides a crucial step in the low/interior regularity setting: in a sequel \cite{FigalliKimMcCann09p}, we use it to establish regularity of optimal maps with respect to the Riemannian distance squared on arbitrary products of spheres. Three key tools are introduced in the present paper. Namely, we first find a transformation that under A3w makes c-convex functions level-set convex (as was also obtained independently from us by Liu \cite{Liu09}). We then derive new Alexandrov type estimates for the level-set convex c-convex functions, and a topological lemma showing optimal maps do not mix interior with boundary. This topological lemma, which does not require A3w, is needed by Figalli and Loeper \cite{FigalliLoeper08p} to conclude continuity of optimal maps in two dimensions. In higher dimensions, if the densities f^\pm are Hölder continuous, our result permits continuous differentiability of the map inside U' (in fact, C^{2,α}_{loc} regularity of the associated potential) to be deduced from the work of Liu, Trudinger and Wang \cite{LiuTrudingerWang09p}.

研究动机与目标

• 在密度远离零和无穷的低正则性设定下，建立最优传输映射的局部 Hölder 连续性与单射性。
• 在 (A3)w 条件下，发展一种使 c-凸函数变为等值集凸化的坐标变换。
• 为等值集凸化的 c-凸函数推导新的 Alexandrov 型估计，以控制曲率与正则性。
• 证明一个拓扑引理，确保最优映射不会混合内部与边界点，这对高维中的单射性至关重要。
• 建立一个与成本函数 $ c $ 无关的通用 Hölder 指数，用于势函数 $ u $。

提出的方法

• 引入一种坐标变换，使 c-凸函数在 (A3)w 条件下变为等值集凸化，推广了 Liu 独立获得的结果。
• 利用变换后的坐标，为 c-凸函数的 Monge-Ampère 测度推导新的下界与上界。
• 证明一个拓扑引理，表明次微分 $ \partial^c u $ 不会混合定义域的内部与边界点，该结论在一般假设下成立。
• 利用吸收性质与变换后的 c-凸性，导出控制势函数 $ u $ 增长的微分不等式。
• 基于 $ C^{1,1/K} $ 正则性估计的比较论证，推导出 $ u $ 的局部 $ C^{1,\alpha} $ 正则性。
• 通过覆盖定义域为有限个邻域，使得 Hessian 行列式乘积有界，建立一个与成本函数 $ c $ 无关的通用 Hölder 指数 $ \alpha > 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当密度远离零与无穷时，最优传输映射在何种条件下具有局部 Hölder 连续性？
• RQ2 在仅知维度与密度界的情况下，最优映射的正则性是否可独立于特定成本函数 $ c $ 建立？
• RQ3 (A3)w 条件是否允许一种变换，使 c-凸函数的几何结构简化为等值集凸性？
• RQ4 在不假设 (A3)w 的前提下，能否证明最优映射中内部与边界点混合的拓扑障碍？
• RQ5 势函数 $ u $ 的最优 Hölder 指数是多少？它是否依赖于成本函数 $ c $？

主要发现

• 在 (A3)w 条件与有界密度下，最优映射具有局部 Hölder 连续性，指数为 $ \alpha > 0 $，且在定义域 $ U' $ 的内部是单射的。
• 势函数 $ u $ 属于 $ C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(U') $，其中 Hölder 指数 $ \alpha > 0 $ 仅依赖于维度 $ n $ 与源密度的下界 $ \lambda $。
• Hölder 指数具有普适性：它不依赖于成本函数 $ c $，而仅依赖于 $ n $ 与 $ \lambda $，该结论通过 Hessian 行列式乘积有界的覆盖论证得以证明。
• 构造了一种新的坐标变换，使在 (A3)w 条件下 c-凸函数变为等值集凸化，从而支持新的 Alexandrov 型估计。
• 证明了一个拓扑引理，表明 $ \partial^c u $ 不会混合内部与边界点，这对 $ n \geq 3 $ 维中的单射性至关重要。
• 该结果为使用黎曼距离平方作为成本函数时，在球面乘积上建立最优映射正则性提供了关键步骤，如后续论文所示。