[论文解读] H-twisted Courant algebroids

Melchior Grützmann|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文通过允许扭曲 H 为余切映射核中的四阶微分形式，并在自然外协变导数下闭合，而非要求 H 全局闭合或恰当，推广了 H-扭曲 Courant 見出。它为这类見出引入了一种类平凡上同调理论，并证明了这些見出中的 Dirac 结构自然诱导出 H-扭曲李見出，从而扩展了广义几何与弦理论中的已知构造。

ABSTRACT

We generalize Hansen--Strobl's definition of $H$-twisted Courant algebroid such that the twist $H$ of the Jacobi identity is a 4-form in the kernel of the anchor map and is closed under a naturally occurring exterior covariant derivative. We give examples and define a cohomology.

研究动机与目标

• 将 H-扭曲 Courant 見出的概念推广至 H 为全局闭合或恰当四阶微分形式的标准情况之外。
• 为强锚定几乎 Courant 見出的余切映射核中截面定义自然的外协变导数。
• 通过在扭曲条件下使微分平方为零，利用一种朴素微分构造 H-扭曲 Courant 見出的上同调理论。
• 证明 H-扭曲 Courant 見出中的 Dirac 结构可自然诱导出 H-扭曲李見出，从而扩展已知的几何与代数结构。
• 将 Roytenberg 的 Courant–Dorfman 代数框架推广至容纳非恰当 H-扭曲的情形。

提出的方法

• 定义强锚定几乎 Courant 見出，其在 kerρ（余切映射的核）上的截面配备协变导数。
• 引入 H-扭曲 Courant 見出，其中雅可比子为四阶微分形式 H ∈ Ω⁴(M, kerρ)，且在诱导的外协变导数 d_H 下闭合。
• 通过 Ω•(kerρ) 中被扭曲 H 作用消去的微分形式构造一种类平凡上同调复形，其微分由协变导数 D 给出。
• 将 H-扭曲 Courant–Dorfman 代数定义为 Roytenberg 框架的推广，以容纳非恰当的 H-扭曲。
• 证明朴素微分 D 将 H-闭合形式映射为 H-闭合形式，从而确保上同调复形定义良好。
• 建立在分裂符号 H-扭曲 Courant 見出中，极大迷向可积子丛（Dirac 结构）通过限制 H，自然诱导出 H-扭曲李見出。

实验结果

研究问题

• RQ1 H-扭曲 Courant 見出的概念能否推广至 H 为闭合或恰当的情形之外，允许 H 为 kerρ 中的四阶微分形式？
• RQ2 在该推广设定下，Ω•(kerρ) 上控制 H 闭合条件的自然外协变导数是什么？
• RQ3 H-扭曲 Courant 見出是否存在一种类平凡上同调理论，且在何种条件下微分平方为零？
• RQ4 H-扭曲 Courant 見出中的 Dirac 结构与 H-扭曲李見出之间有何关系，扭曲 H 在此对应中起何作用？
• RQ5 Courant–Dorfman 代数框架能否扩展以支持 Courant 見出中非恰当 H-扭曲？

主要发现

• 本文通过 Ω•(kerρ) 中被扭曲 H 作用消去的微分形式，结合微分 D，为 H-扭曲 Courant 見出构造了上同调理论，形成定义良好的上链复形。
• 由于条件 d_H H = 0，微分 D 在 H-闭合形式上平方为零，从而确保上同调定义良好。
• 在分裂符号 H-扭曲 Courant 見出中，Dirac 结构自然诱导出 H-扭曲李見出，其中扭曲 H 诱导出取值于 kerρ|L 上的 D-闭合三阶微分形式。
• 本文提供了从 Courant 見出和满足特定可积性条件的 kerρ-三阶微分形式出发的广义精确四阶微分形式的例子。
• 该构造通过允许 H 非恰当，同时保持在自然协变导数下闭合条件，推广了早期关于 H-扭曲 Courant 見出的结果。
• 该框架将 Roytenberg 的 Courant–Dorfman 代数推广至 H-扭曲情形，使得广义几何中非恰当扭曲的处理成为可能。