[论文解读] Hadamard matrices of small order and Yang conjecture

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用 6

一句话总结

该论文纠正了《组合设计手册》中的一项疏漏，指出原本被错误分类为‘坏’的138个四倍阶数$4n$的Hadamard矩阵案例实际上应为‘好’，原因在于存在近正态序列和基序列。此外，通过证明$NN(n)$等价类在$n = 36, 38, 40$时的唯一性，该研究验证了Yang猜想在所有偶数$n \leq 40$范围内的成立，尽管此前曾预期存在反例。

ABSTRACT

We show that 138 odd values of n less than 10000 for which one knows how to construct a Hadamard matrix of order 4n have been overlooked in the recent handbook of combinatorial designs. There are four additional odd n, namely 191, 5767, 7081 and 8249, in that range for which we can construct a Hadamard matrix of order 4n. Our exhaustive computer searches show that the near-normal sequences NN(n) exist for n=36,38,40. Thus the Yang conjecture on the existence of NN(n) for all even n has been verified for n <= 40 but it still remains open.

研究动机与目标

• 纠正《组合设计手册》中的一项错误，该错误将138个四倍阶数$4n$的Hadamard矩阵案例错误地标记为‘坏’，而实际上它们是‘好’的。
• 尽管先前曾预期存在反例，仍验证Yang猜想在所有偶数$n \leq 40$范围内近正态序列$NN(n)$存在的成立性。
• 通过基序列和近正态序列的新结果，证明$HM(4n)$在$n=191, 5767, 7081, 8249$时的存在性。
• 为修正后的案例提供$HM(4n)$的显式构造，方法包括Yang乘法、T-序列和正交设计。
• 确立$NN(36)$、$NN(38)$和$NN(40)$中$NN$-等价类的唯一性，从而强化Yang猜想的开放状态。

提出的方法

• 应用命题2.1，该命题将$HM(4n)$的存在性与$NN(l)$、$BS(r,s)$、$BHW(4h)$和$WT(w)$的存在性联系起来，使用Yang乘法和正交设计构造。
• 利用已知的Golay序列和基序列($BS(r,s)$)结果，其中$r,s$不超过36，包括通过$NN(36)$存在性构造的$BS(37,36)$。
• 借助$NN$-等价的规范形式，通过在SHARCNET上的高性能计算系统地枚举所有偶数$n \leq 40$的$NN$-等价类。
• 通过链式构造$HM(4n)$：$NN(l) \times BS(r,s) \to TS(t) \to OD(4ht) \to HM(4dw)$，使用已知的奇数$w < 2000$的$WT(w)$，并更新$w=35,127$的数据。
• 通过推导出的$NN(36)$验证$BS(37,36)$的存在性，该$NN(36)$是通过$NN$-等价的规范形式和穷举搜索构造的。
• 采用先前工作的编码方案，以紧凑且机器可读的格式表示$NN(n)$和$BS(r,s)$，以支持验证与可复现性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何《组合设计手册》中138个四倍阶数$4n$的Hadamard矩阵案例被错误地分类为‘坏’？
• RQ2 能否利用已知的近正态序列和基序列构造方法，证明$HM(4n)$在$n \in \Delta$时的存在性？
• RQ3 Yang猜想——即对所有偶数$n > 0$，$NN(n)$均存在——在所有偶数$n \leq 40$范围内是否成立？
• RQ4 $n = 36, 38, 40$时$NN$-等价类的数量是多少？唯一性是否在$n = 30$之后仍保持？
• RQ5 能否利用当前对基序列和近正态序列的知识，证明另外四个案例$n = 191, 5767, 7081, 8249$中$HM(4n)$的存在性？

主要发现

• 此前在《组合设计手册》中被标记为‘坏’的138个四倍阶数$4n$的Hadamard矩阵案例，原本被认为需要$t \geq 3$才能构造$HM(4n)$，实际上它们是‘好’的，因为可通过已知构造实现$HM(4n)$。
• 通过$NN(36)$和$BS(37,36)$，$HM(4n)$在$n = 191, 5767, 7081, 8249$时的存在性得以确立，对应$w = 79, 97, 113$，使未解决的‘坏’案例数量减少至864个。
• $NN(36)$、$NN(38)$和$NN(40)$中均恰好存在一个$NN$-等价类，表明每个均具有唯一的规范形式，尽管此前预期存在多个类。
• $NN(40)$的计算在SHARCNET上耗时约1300个CPU日，证实了对$n \leq 40$范围内的穷举搜索是可行的。
• $BS(37,36)$的构造依赖于$NN(36)$的存在性，该$NN(36)$通过$NN$-等价的规范形式和穷举枚举得到验证。
• 提供了$n = 32, 34, 36, 38, 40$时$NN(n)$的编码形式显式示例，证实其存在性及在$NN$-等价意义下的唯一性。