[论文解读] Hamilton-Jacobi equations for optimal control on multidimensional junctions

Salomé Oudet|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文为在 R^d 中由共享一个 (d-2) 维界面的若干半平面构成的多维节点结构（类似网络的结构）上的哈密顿-雅可比方程建立了粘性解理论。在一般可控性假设下，本文建立了比较原理，并证明了值函数是粘性解，从而将最优控制理论推广至具有非光滑几何结构的分支状状态空间。

ABSTRACT

We consider continuous-state and continuous-time control problems where the admissible trajectories of the system are constrained to remain on a union of half-planes which share a common straight line. This set will be named a junction. We define a notion of constrained viscosity solution of Hamilton-Jacobi equations on the junction and we propose a comparison principle whose proof is based on arguments from the optimal control theory.

研究动机与目标

• 为 R^d 中受多维节点约束的最优控制问题制定一个适定的哈密顿-雅可比方程。
• 在状态空间具有非光滑、分支状结构的节点上，定义一种受约束的粘性解概念。
• 在对动力学和哈密顿函数的一般假设下，建立粘性解的比较原理。
• 将现有网络相关结果推广至具有 1 维界面（例如 R^3 中的一条直线）的高维节点。
• 证明最优控制问题的值函数是所导出的 HJ 方程的粘性解。

提出的方法

• 将节点定义为 R^d 中共享一个公共 (d-2) 维界面 Γ 的若干半平面的并集。
• 通过要求解在每个半平面上满足 HJ 方程，并在界面处满足传输条件，来定义受约束的粘性解。
• 引入切向哈密顿函数 H^T_Γ 以建模沿界面 Γ 的动力学。
• 利用动态规划原理和受 Barles、Briani 与 Chasseigne 启发的控制论论证，推导出比较原理。
• 通过采用在半平面与界面之间切换的可允许轨迹的扰动论证，利用在界面 Γ 附近强可控性或法向可控性假设。
• 通过一系列近似轨迹和渐近展开的粘性次解检验方法，推导出节点点处的 HJ 不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有非光滑界面的多维节点上的最优控制问题制定哈密顿-雅可比方程？
• RQ2 在多个半平面沿一条直线相交的分支集合上，适当的粘性解概念是什么？
• RQ3 当不同区域的哈密顿函数相互独立且非强制时，如何为这类 HJ 方程建立比较原理？
• RQ4 对动力学和控制集施加何种条件，可确保值函数是粘性解？
• RQ5 节点界面处的传输条件如何影响解的结构与唯一性？

主要发现

• 在节点上最优控制问题的值函数是所导出的哈密顿-雅可比方程的粘性解。
• 在一般假设下（包括对界面的法向可控性以及各半平面上独立的哈密顿函数）建立了比较原理。
• 解在界面处满足一个传输条件，该条件同时包含法向和切向的动力学分量。
• 证明依赖于控制论论证而非纯粹的 PDE 技术，将 [2] 中的结果推广至高维节点。
• 切向哈密顿函数 H^T_Γ 的存在对捕捉停留在界面 Γ 上的轨迹至关重要。
• 该方法允许界面处动力学和运行成本的不连续性，推广了先前在网络和 eikonal 方程方面的工作。