[论文解读] Hamiltonian Dynamics on Lie Algebroids, Unimodularity and Preservation of Volumes

J.C. Marrero|ArXiv.org|May 1, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文证明了李代数胚对偶丛上的哈密顿动力系统保持基本型体积形式的充要条件是该李代数胚为单模的。核心结果将刘维尔定理和科佐夫关于李-泊松系统的结论进行了推广，以李代数胚的模类作为决定体积保持性的核心几何不变量。

ABSTRACT

In this paper we discuss the relation between the unimodularity of a Lie algebroid $τ_{A}: A o Q$ and the existence of invariant volume forms for the hamiltonian dynamics on the dual bundle $A^{*}$. The results obtained in this direction are applied to several hamiltonian systems on different examples of Lie algebroids.

研究动机与目标

• 确定李代数胚对偶丛上哈密顿动力系统保持体积形式的必要与充分条件。
• 将关于单模李代数的刘维尔定理和科佐夫结果推广至更广泛的李代数胚框架。
• 研究单模性与模类在泊松流形上力学系统体积保持性中的作用。
• 将对体积保持动力系统的理解从辛结构和李-泊松结构扩展至由李代数胚诱导的一般泊松结构。

提出的方法

• 通过基流形上的体积形式与代数胚的最高外幂的非零截面来定义李代数胚的模类。
• 利用相对于选定体积形式的哈密顿向量场的散度，在对偶丛上构造模向量场。
• 建立模类与李代数胚上同调类之间的一一对应关系，将单模性定义为该类的消失。
• 利用李代数胚 $A$ 上的李代数胚结构在对偶丛 $A^*$ 上诱导的线性泊松结构，来定义哈密顿动力系统。
• 分析哈密顿向量场的流，并推导其保持基本型体积形式的条件。
• 将结果应用于具体例子：标准力学系统、阿蒂亚代数胚与作用代数胚，包括重摆系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 李代数胚对偶丛上的哈密顿动力系统在何种条件下保持体积形式？
• RQ2 李代数胚的模类如何与哈密顿系统存在不变体积形式的条件相关联？
• RQ3 李代数胚的单模性在泊松流形上力学系统的体积保持性中具有多大程度的表征作用？
• RQ4 体积保持动力系统是否可能出现在非单模李代数胚上？若可能，其条件是什么？
• RQ5 本研究结果如何推广刘维尔定理与科佐夫关于李-泊松系统的结论？

主要发现

• 李代数胚 $A$ 的对偶丛 $A^*$ 上的哈密顿动力系统保持基本型体积形式，当且仅当 $A$ 是单模的。
• 对于具有恒定势能的力学哈密顿系统，$A^*$ 上的体积保持性成立当且仅当李代数胚 $A$ 是单模的。
• 在重摆系统中，系统保持体积形式 $dp_1 \wedge dp_2 \wedge dp_3 \wedge \nu$ 在 $\mathfrak{so}(3)^* \times S^2 \simeq \mathbb{R}^3 \times S^2$ 上，因为 $\mathfrak{so}(3)$ 是单模的，且作用保持 $S^2$ 上的体积。
• 李代数胚的模类与基流形和代数胚上体积形式的选择无关，且在李代数胚上同调中定义了一个良定的上同调类。
• 作用代数胚系统中体积保持的条件可简化为涉及李代数的模特征与无穷小作用散度的微分方程。
• 本文指出，体积保持动力系统也可能出现在非单模李代数胚上，但仅限于非基本型体积形式，暗示此类情况下结构更为复杂。