[论文解读] Hamiltonian formulation of the teleparallel equivalent of general relativity without gauge fixing

J. W. Maluf, J. F. da Rocha-Neto|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用 6

一句话总结

该论文在不施加时间规范条件的情况下，通过严格的勒让德变换，建立了广义相对论的平行引力等效形式的哈密顿理论。其动力学由哈密顿约束和初级约束支配，向量约束源自哈密顿约束，其几何与动力学结构与标准ADM形式有根本性不同。

ABSTRACT

We establish the Hamiltonian formulation of the teleparallel equivalent ofgeneral relativity, without fixing the time gauge condition, by rigorouslyperforming the Legendre transform. The time gauge condition restricts theteleparallel geometry to the three-dimensional spacelike hypersurface.Geometrically, the teleparallel geometry is now extended to thefour-dimensional space-time. The resulting Hamiltonian formulation is differentfrom the standard ADM formulation in many respects, the main one being that thedynamics is now governed by the Hamiltonian constraint H_0 and a set of primaryconstraints. The vector constraint H_i is derived from the Hamiltonianconstraint. The vanishing of the latter implies the vanishing of the vectorconstraint.

研究动机与目标

• 在不假设时间规范条件的前提下，发展广义相对论的平行引力等效形式的哈密顿理论。
• 通过避免限制于类空超曲面，保持完整的四维时空几何结构。
• 通过严格的勒让德变换，推导出动力学约束——哈密顿约束与向量约束。
• 在未进行规范固定的条件下，阐明哈密顿约束与向量约束之间的关系。
• 从几何与动力学结构的角度，将所得形式与标准ADM形式进行对比。

提出的方法

• 对未施加时间规范的四维标架作用量执行严格的勒让德变换。
• 在完整的四维时空几何框架下工作，而非局限于类空超曲面。
• 通过勒让德变换识别出哈密顿约束 H₀ 和一组初级约束。
• 将向量约束 Hᵢ 作为哈密顿约束 H₀ 的结果推导而出。
• 通过避免规范固定程序，在约束结构中保持明显的时空协变性。
• 使用标架形式在哈密顿框架中以扭量而非曲率编码引力。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不固定时间规范条件的情况下推导出平行引力哈密顿理论？
• RQ2 在未进行规范固定的条件下，哈密顿约束在生成向量约束中起什么作用？
• RQ3 所得约束结构与标准ADM形式有何不同？
• RQ4 保持完整的四维时空结构会带来哪些几何与动力学影响？
• RQ5 在此形式中，向量约束能否仅从哈密顿约束推导得出？

主要发现

• 哈密顿理论在不固定时间规范的条件下推导得出，完整保留了四维时空几何结构。
• 动力学由哈密顿约束 H₀ 和一组初级约束支配，其结构与ADM框架不同。
• 向量约束 Hᵢ 由哈密顿约束 H₀ 导出，使得 H₀ 的消失意味着 Hᵢ 的消失。
• 所得形式在约束代数与几何解释方面与ADM形式存在显著差异。
• 勒让德变换被严格执行，确保了在无规范固定假设下的正则结构一致性。
• 该形式通过哈密顿量揭示了约束之间更深层次的几何统一，强调了扭量在动力学中的作用。