[论文解读] Hamiltonian Principle in Binary Mixtures of Euler Fluids with Applications to the Second Sound Phenomena

Henri Gouin, Tommaso Ruggeri|ArXiv.org|May 29, 2008

Quantum, superfluid, helium dynamics参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文建立了哈密顿变分原理与二元欧拉流体混合物的理性热力学之间的严格等价性，证明当拉格朗日量仅依赖于内禀变量时，两种框架在绝热情况下产生相同的运动方程。关键结果表明，在低温条件下，该方法与朗道的超流氦模型一致，验证了哈密顿方法在第二声现象中的适用性。

ABSTRACT

In the present paper we compare the theory of mixtures based on Rational Thermomechanics with the one obtained by Hamilton principle. We prove that the two theories coincide in the adiabatic case when the action is constructed with the intrinsic Lagrangian. In the complete thermodynamical case we show that we have also coincidence in the case of low temperature when the second sound phenomena arises for superfluid Helium and crystals.

研究动机与目标

• 在二元欧拉流体混合物的背景下，调和哈密顿变分原理与理性热力学之间的关系。
• 研究基于内禀拉格朗日量的变分方法是否能重现由热力学原理导出的平衡律。
• 验证哈密顿框架在超流氦和晶体材料中第二声现象中的适用性。
• 确立两种理论方法——变分法与热力学法——产生相同运动方程的条件。
• 通过使用伽利略不变拉格朗日量，扩展双速度流体模型的理论基础。

提出的方法

• 使用内禀拉格朗日量 $ L = E_c - \beta $ 构造作用量积分，其中 $ E_c $ 为内禀动能，$ \beta = \rho \rho_{\text{I}} $ 为依赖于密度 $ \rho_1, \rho_2 $ 和相对速度 $ \omega = |\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2| $ 的内禀内能。
• 在时空区域 $ \mathcal{W} = [t_0,t_1] \times D $ 上应用最小作用原理 $ \delta I = 0 $，边界上变分量为零。
• 通过作用量变分推导运动方程，得到包含广义动量 $ \mathbf{k}_a $ 和 $ \beta $ 梯度的欧拉-庞加莱型方程。
• 通过将各组分方程乘以 $ \rho_a $ 后求和，推导总动量与能量平衡方程，确保与混合物宏观守恒律的一致性。
• 将分析特化到绝热情形，此时 $ \beta $ 与 $ \omega $ 无关，简化为 $ \beta = \rho_1 \varepsilon_1(\rho_1) + \rho_2 \varepsilon_2(\rho_2) $，并与理性热力学比较。
• 验证所得方程与混合物中质量、动量和能量的标准平衡律一致，包括总应力张量 $ \mathbf{t} $ 和热流 $ \mathbf{q} $ 的定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，哈密顿变分原理能在二元欧拉流体混合物中重现理性热力学的平衡方程？
• RQ2 内禀能量 $ \beta $ 中包含相对速度依赖性时，如何影响变分法与热力学表述之间的一致性？
• RQ3 哈密顿方法是否能在低温条件下正确描述超流氦和晶体中的第二声现象？
• RQ4 从内禀拉格朗日量导出的变分方程与多组分流体中经典平衡律之间是否存在直接对应关系？
• RQ5 伽利略不变性在确保变分法与热力学表述之间一致性方面发挥何种作用？

主要发现

• 在绝热情形下，当内禀拉格朗日量 $ L = E_c - \rho \varepsilon_I $ 与相对速度 $ \omega $ 无关时，哈密顿原理导出的方程与理性热力学结果完全一致。
• 由变分原理导出的动量与能量平衡方程与混合物的标准宏观平衡律一致，包括总应力张量 $ \mathbf{t} $ 和热流 $ \mathbf{q} $。
• 在第二声出现的低温条件下，变分方法的结果与朗道的超流模型一致，证实了其物理有效性。
• 广义动量 $ \mathbf{k}_a $ 包含来自 $ \partial \beta / \partial \omega $ 的速度与梯度项，当 $ \beta $ 与 $ \omega $ 无关时其值为零，从而恢复标准欧拉方程。
• 由变分原理导出的总能量方程满足总能量守恒，内禀动能与内能被正确计入能量密度中。
• 两种框架之间的等价性不仅在力学（绝热）情形下成立，也在低温下的热力学区域成立，验证了哈密顿方法在第二声现象中的适用性。