[论文解读] Hard Lefschetz Theorem for Sasakian manifolds

Beniamino Cappelletti Montano, Antonio De Nicola+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文建立了维数为 $2n+1$ 的紧致Sasakian流形的Hard Lefschetz定理，证明了楔积乘法 $\eta \wedge (d\eta)^p$ 在de Rham上同调群 $H^{n-p}(M)$ 与 $H^{n+p+1}(M)$ 之间诱导出一个同构，其中 $0 \leq p \leq n$。该同构被证明与相容Sasakian度量的选择无关，从而为接触流形是否能赋予Sasakian结构提供了拓扑障碍。

ABSTRACT

We prove that on a compact Sasakian manifold $(M, η, g)$ of dimension $2n+1$, for any $0 \le p \le n$ the wedge product with $η\wedge (dη)^p$ defines an isomorphism between the spaces of harmonic forms $Ω^{n-p}_Δ(M)$ and $Ω^{n+p+1}_Δ(M)$. Therefore it induces an isomorphism between the de Rham cohomology spaces $H^{n-p}(M)$ and $H^{n+p+1}(M)$. Such isomorphism is proven to be independent of the choice of a compatible Sasakian metric on a given contact manifold. As a consequence, an obstruction for a contact manifold to admit Sasakian structures is found.

研究动机与目标

• 建立Sasakian几何中Hard Lefschetz定理的奇数维类比，类似于Kähler几何中的经典结果。
• 通过分析微分形式上Laplacian的谱性质，解决楔积乘法 $\eta \wedge (d\eta)^p$ 无法预先保持调和性的问题。
• 证明由Laplacian诱导的上同调同构与相容Sasakian度量的选择无关，尽管调和投影的定义依赖于度量。
• 定义并研究“Lefschetz接触流形”的概念，作为Sasakian结构存在性的上同调障碍。

提出的方法

• 引入映射 $L\!e\!f_p: H^{n-p}(M) \to H^{n+p+1}(M)$，定义为 $[\beta] \mapsto [\eta \wedge (d\eta)^p \wedge \Pi_\Delta \beta]$，其中 $\Pi_\Delta \beta$ 是 $\beta$ 的调和投影。
• 证明对于 $\alpha \in \Omega^{n-p}_\Delta(M)$，形式 $\eta \wedge (d\eta)^k \wedge \alpha$ 是Laplacian的特征形式，具有正整数特征值，从而确保该映射在调和形式上良定义。
• 利用谱性质和算子 $L$、$\epsilon_\eta$ 与 $d$ 的换位关系，构造Lefschetz同构的显式逆映射。
• 通过谱分解以及 $L^{n-p+1}\gamma = 0$ 对满足 $i_\xi \gamma = 0$ 的闭形式 $\gamma$ 成立的事实，证明Lefschetz映射与度量无关。
• 在接触流形上定义Lefschetz关系 $\mathcal{R}_{L\!e\!f_p}$，并将“Lefschetz接触流形”定义为该关系是同构图的流形。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致Sasakian流形，是否存在类似于Kähler情形的Hard Lefschetz型同构？
• RQ2 尽管 $d\eta$ 和 $\eta$ 无法保持调和性，通过 $\eta \wedge (d\eta)^p$ 定义的Lefschetz映射是否仍能在调和形式上良定义？
• RQ3 由Laplacian诱导的上同调同构是否与相容Sasakian度量的选择无关？
• RQ4 Hard Lefschetz性质能否推广至可能不具有Sasakian结构的一般接触流形？
• RQ5 此类Lefschetz同构的存在性对接触流形施加了何种拓扑障碍？

主要发现

• 对于任意维数为 $2n+1$ 的紧致Sasakian流形，楔积 $\eta \wedge (d\eta)^p$ 在de Rham上同调群 $H^{n-p}(M)$ 与 $H^{n+p+1}(M)$ 之间诱导出一个同构。
• Lefschetz映射是良定义的，因为 $\eta \wedge (d\eta)^k \wedge \alpha$ 是Laplacian的特征形式，具有正整数特征值，从而其像落在 $n+p+1$ 次调和形式空间中。
• 构造了Lefschetz同构的显式逆映射，从而证明该映射确实为同构。
• 通过利用 $L^{n-p+1}\gamma = 0$ 对满足 $i_\xi \gamma = 0$ 的闭形式 $\gamma$ 成立的性质，结合度量无关性论证，证明Lefschetz同构与相容Sasakian度量的选择无关。
• 在任意Lefschetz接触流形中，当 $p \leq n$ 且 $p$ 为奇数时，奇数贝蒂数 $b_p$ 为偶数，这是由于 $H^p(M)$ 上存在一个非退化的斜对称双线性形式。
• 一个接触流形仅当其满足Hard Lefschetz性质（即Lefschetz关系 $\mathcal{R}_{L\!e\!f_p}$ 是同构的图）时，才可能赋予Sasakian结构。