[论文解读] Hardness of approximation for strip packing

Anna Adamaszek, Tomasz Kociumaka+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2016

Optimization and Packing Problems参考文献 14被引用 4

一句话总结

该论文证明了即使在输入规模多项式有界的前提下，装箱问题（strip packing）也难以在优于 12/11 的近似因子内进行近似，且该结果通过从 3-Partition 问题的归约得到证明。作者进一步表明，除非 NP ⊆ DTIME(2^{polylog(n)})，否则 strip packing 不存在准多项式时间近似方案（QPTAS），从而解决了关于其在多项式有界情形下可近似性的关键开放问题。

ABSTRACT

Strip packing is a classical packing problem, where the goal is to pack a set of rectangular objects into a strip of a given width, while minimizing the total height of the packing. The problem has multiple applications, e.g. in scheduling and stock-cutting, and has been studied extensively. When the dimensions of objects are allowed to be exponential in the total input size, it is known that the problem cannot be approximated within a factor better than $3/2$, unless $\mathrm{P}=\mathrm{NP}$. However, there was no corresponding lower bound for polynomially bounded input data. In fact, Nadiradze and Wiese [SODA 2016] have recently proposed a $(1.4 + ε)$ approximation algorithm for this variant, thus showing that strip packing with polynomially bounded data can be approximated better than when exponentially large values in the input data are allowed. Their result has subsequently been improved to a $(4/3 + ε)$ approximation by two independent research groups [FSTTCS 2016, arXiv:1610.04430]. This raises a question whether strip packing with polynomially bounded input data admits a quasi-polynomial time approximation scheme, as is the case for related two-dimensional packing problems like maximum independent set of rectangles or two-dimensional knapsack. In this paper we answer this question in negative by proving that it is NP-hard to approximate strip packing within a factor better than $12/11$, even when admitting only polynomially bounded input data. In particular, this shows that the strip packing problem admits no quasi-polynomial time approximation scheme, unless $\mathrm{NP} \subseteq \mathrm{DTIME}(2^{\mathrm{polylog}(n)})$.

研究动机与目标

• 解决 strip packing 在输入数据多项式有界时是否能存在准多项式时间近似方案（QPTAS）的问题，如同最大矩形独立集等相关问题所展现的那样。
• 弥合已知的针对指数规模输入的 3/2 不可近似性下界与多项式有界输入下改进的 (4/3+ε) 近似算法之间的差距。
• 在多项式有界输入规模下，建立 strip packing 的强不可近似性结果，表明其本质上比某些相关几何装箱问题更难近似。

提出的方法

• 从强 NP-难的 3-Partition 问题归约，构造具有特定矩形尺寸和约束的 strip packing 实例。
• 设计宽度分别为 a、b 和 a+b 的侧边矩形，以及宽度为 b/3 + s_i 的中间矩形，其中 s_i 为小扰动量，以编码 3-Partition 实例。
• 利用几何约束：任意处于一般位置的竖直线恰好与两个侧边矩形和一个中间矩形相交，从而在任何有效装箱中强制结构一致性。
• 证明任何有效装箱必须将中间矩形划分为连续的三元组，每组总宽度恰好为 b，这对应于一个有效的 3-Partition 解。
• 利用系数 a 和 b 的数论性质（满足 gcd(a,b)=1 且 b>3a），确保矩形边界的 x 坐标为 an_a + bn_b 的线性组合，且满足 n_b - n_a ∈ {0,1}。
• 确立中间矩形的唯一可行配置是划分为总宽度为 b 的三元组，这暗示了原始 3-Partition 实例的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在输入数据多项式有界的情况下，是否可以将 strip packing 的近似因子改进至优于 12/11？
• RQ2 若多项式有界输入下存在 (4/3+ε)-近似算法，是否意味着存在准多项式时间近似方案（QPTAS）？
• RQ3 在多项式有界输入规模下，strip packing 是否为 APX-难问题，类似于其他几何装箱问题？
• RQ4 是否能通过结构约束使有效装箱中中间矩形必须形成总宽度为 b 的三元组，从而编码 3-Partition 解？
• RQ5 strip packing 的不可近似性结果是否与最大矩形独立集或二维背包问题等相关问题存在本质差异？

主要发现

• 即使所有输入值在项目数量上均为多项式有界，strip packing 问题也难以在优于 12/11 的近似因子内进行近似。
• 这意味着除非 NP ⊆ DTIME(2^{polylog(n)})，否则 strip packing 不存在准多项式时间近似方案（QPTAS），而该假设被认为极不可能成立。
• 该不可近似性结果通过从强 NP-难的 3-Partition 问题归约得到证明，且该问题在 P≠NP 的假设下不存在伪多项式时间算法。
• 所构造实例的任何有效装箱必须将中间矩形划分为连续的三元组，每组总宽度恰好为 b，这与 3-Partition 实例的解完全对应。
• 几何约束与矩形尺寸的数论性质确保只有与有效 3-Partition 一致的配置才能产生有效装箱。
• 该结果表明，与最大矩形独立集和二维背包问题等可接受 QPTAS 的相关问题相比，strip packing 在多项式有界输入下表现出更高的近似难度，即其不可近似性更强。