[论文解读] Hardness of permutation pattern matching

Vít Jelínek, Jan Kynčl|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Algorithms and Data Compression被引用 9

一句话总结

本文证明了即使当模式 π 避免长度为 3 的递减子序列，且文本 τ 避免长度为 4 的此类子序列时，排列模式匹配（PPM）仍是 NP-完全的——这是首个在排列的真遗传类中发现的 NP-难结果。此外，本文对限制在避免单一排列 α 的模式 π 的 PPM 建立了完整的复杂性二分法，表明当 α ∈ {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312} 时问题为多项式可解，否则为 NP-完全。

ABSTRACT

Permutation Pattern Matching (or PPM) is a decision problem whose input is a pair of permutations π and τ, represented as sequences of integers, and the task is to determine whether τ contains a subsequence order-isomorphic to π. Bose, Buss and Lubiw proved that PPM is NP-complete on general inputs.We show that PPM is NP-complete even when π has no decreasing subsequence of length 3 and τ has no decreasing subsequence of length 4. This provides the first known example of PPM being hard when one or both of π and σ are restricted to a proper hereditary class of permutations.This hardness result is tight in the sense that PPM is known to be polynomial when both π and τ avoid a decreasing subsequence of length 3, as well as when π avoids a decreasing subsequence of length 2. The result is also tight in another sense: we will show that for any hereditary proper subclass C of the class of permutations avoiding a decreasing sequence of length 3, there is a polynomial algorithm solving PPM instances where π is from C and τ is arbitrary.We also obtain analogous hardness and tractability results for the class of so-called skew-merged patterns.From these results, we deduce a complexity dichotomy for the PPM problem restricted to π belonging to Av(α), where Av(α) denotes the class of permutations avoiding a permutation α. Specifically, we show that the problem is polynomial when α is in the set {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312}, and it is NP-complete for any other α.

研究动机与目标

• 确定当排列模式匹配（PPM）被限制在特定遗传类排列时的计算复杂性。
• 在模式 π 和文本 τ 的结构约束下，识别 PPM 可解与不可解实例之间的精确边界。
• 为 PPM 建立完整的复杂性二分法，当模式 π 属于 Av(α) 类（即避免单一排列 α）时。
• 刻画所有使得当 π 受限于 Av(α) 时 PPM 仍为多项式时间可解的排列 α。
• 通过证明对于 Av(321) 的任意真遗传子类 C，当 π ∈ C 且 τ 为任意时 PPM 为多项式时间可解，展示该难解结果的紧致性。

提出的方法

• 通过从 3-Partition 问题归约，构建在受限模式与文本约束下的 PPM NP-完全性证明。
• 利用避免长递减子序列的排列的结构性质，特别关注 Av(321) 和 Av(4321) 类。
• 应用斜合并排列的概念，将难解性与可解性结果推广至更广泛的类。
• 为 π 属于 Av(321) 的任意真遗传子类的情形构造多项式时间算法，利用动态规划与结构分解。
• 分析遗传类的闭包性质及其对 PPM 复杂性的影响。
• 使用极值组合学与禁止子模式分析，正式刻画使得 PPM 在 Av(α) 中为多项式时间可解的排列 α 的集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 π 和 τ 均避免长度为 3 的递减子序列时，PPM 是否为 NP-完全？还是此时为多项式时间可解？
• RQ2 能否在排列的真遗传类（如 π ∈ Av(321)，τ ∈ Av(4321)）中建立 PPM 的 NP-完全性？
• RQ3 使得 PPM 在 Av(α) 限制下仍为多项式时间可解的排列 α 的精确集合是什么？
• RQ4 该 NP-完全性结果是否紧致？即，若进一步放松约束，是否会导致可解性？
• RQ5 能否为 π 属于 Av(321) 的任意真遗传子类的情形构造多项式时间算法，无论 τ 如何？

主要发现

• 即使当 π 避免长度为 3 的递减子序列，且 τ 避免长度为 4 的此类子序列时，PPM 仍为 NP-完全，这在排列的真遗传类中首次建立了 NP-难性结果。
• 该难解结果是紧致的：当 π 和 τ 均避免长度为 3 的递减子序列，或当 π 避免长度为 2 的递减子序列时，PPM 为多项式时间可解。
• 对于 Av(321) 的任意遗传真子类 C，当 π ∈ C 且 τ 为任意时，PPM 为多项式时间可解，表明可解性的精确临界点。
• 为限制在 Av(α) 中的 PPM 建立了完整的复杂性二分法：当且仅当 α 属于 {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312} 时，问题为多项式可解。
• 本文提供了 Av(α) 中 PPM 可解的所有排列 α 的完整刻画，解决了所有此类受限类中 PPM 的复杂性。
• 类似地，获得了关于斜合并模式的难解性与可解性结果，将二分法推广至另一类自然排列。