[论文解读] Hardy and Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities on Riemannian manifolds with negative curvature

Van Hoang Nguyen|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用 3

一句话总结

本文在具有负曲率的完备单连通黎曼流形上建立了精确的加权 Hardy 型与 Rellich 型不等式，包括临界情形及 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式。通过利用径向导数与 Gauss 引理，作者推导出强于已有结果的不等式，证明了在参数约束下的最优性，并在欧氏空间中为特定参数类明确了显式的最优函数。

ABSTRACT

In this paper, we establish several new Hardy type inequalities such as the weighted Hardy inequality, weighted Rellich inequality, critical Hardy inequality and critical Rellich inequality on complete, simply connected manifold with negative curvature. Our obtained inequalities are proved for radial derivations (i.e., the derivation along the geodesic curve) and hence are stronger than the well-known corresponding inequalities because of Gauss's lemma. We also prove a subclass of Caffarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities (including the inequalities for negative exponent) on such kind of Riemannian manifolds. These inequalities are shown to be sharp under some appropriate assumptions of the parameters. A family of optimal functions for the Cafarelli-Kohn-Nirenberg type inequalities are found out in Euclidean space for a special class of parameters. As consequences, we obtain some new inequalities in the hyperbolic space of negative constant curvature. Our results seem to be new even in the Euclidean space (except some special cases).

研究动机与目标

• 将经典的 Hardy 与 Rellich 不等式推广至具有负曲率的黎曼流形。
• 通过径向导数建立这些不等式的新型加权与临界形式。
• 在适当的参数条件下，证明 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式的精确性。
• 在欧氏空间中，为 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的一个子类识别出最优函数。
• 作为一般框架的推论，推导出双曲空间中的新不等式。

提出的方法

• 利用测地线上的径向导数，结合 Gauss 引理，强化不等式。
• 通过径向结构，在负曲率流形上推导加权 Hardy 与 Rellich 不等式。
• 引入并分析一类 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式，包括具有负指数的情形。
• 通过变分法与几何论证，在特定参数约束下证明不等式的精确性。
• 通过对称性与标度变换，在欧氏空间中为一类特殊参数构造显式的最优函数。
• 将一般框架应用于双曲空间，推导出新的不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将加权 Hardy 与 Rellich 不等式推广至完备单连通的负曲率黎曼流形？
• RQ2 与标准形式相比，径向导数如何增强 Hardy 型不等式的强度？
• RQ3 在何种参数条件下，Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式在这些流形上是精确的？
• RQ4 在欧氏空间中，针对特定参数类，Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的最优函数是什么？
• RQ5 作为一般结果的推论，双曲空间中会涌现出哪些新不等式？

主要发现

• 作者在具有负曲率的完备单连通黎曼流形上，利用径向导数建立了新的加权 Hardy 与 Rellich 不等式。
• 由于使用了径向导数与 Gauss 引理，这些不等式强于经典版本。
• 推导出一类包含负指数的 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型不等式子类，并在适当的参数条件下证明其精确性。
• 在欧氏空间中，为一类特殊参数的 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式识别出显式的最优函数。
• 作为一般结果的推论，在常负曲率的双曲空间中获得了新的不等式。
• 即使在欧氏空间中，对于超出先前已知特例的一般情形，这些结果也被证明是全新的。