[论文解读] Hardy Inequalities in General Domains

Georgios Psaradakis|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 81被引用 6

一句话总结

该论文在具有有限内半径的一般区域中，利用到边界距离函数的分布式拉普拉斯算子，建立了 L1 加权 Hardy 不等式的精确、最优余项。证明了 C2 域为平均凸当且仅当距离函数的分布式拉普拉斯算子非负，从而在球体情形下得到余项的最优常数，并通过最优 Hölder 型半范数改进了 p > n 时的 Lp Hardy 不等式。

ABSTRACT

Key Words: Hardy inequalities, Sobolev inequalities, Morrey inequality, distance function, mean curvature, best constants, semi-concavity, sets with positive reach, mean convex sets, Cheeger constant, modulus of continuity

研究动机与目标

• 推导具有有限内半径的区域中 L1 加权 Hardy 不等式的精确齐次余项。
• 通过距离函数的分布式拉普拉斯算子刻画 C2 域的平均凸性。
• 在球体情形下，确定余项最优常数，此时上界与下界重合。
• 通过添加最优加权 Hölder 半范数，改进 p > n 时的 Lp Hardy 不等式。
• 将分析扩展至到原点的距离与到边界的距离，从而改进 Sobolev 型不等式。

提出的方法

• 将距离函数到边界的分布式拉普拉斯算子作为关键分析工具。
• 证明距离函数 d 的分布式拉普拉斯算子是一个带非负奇异部分的符号 Radon 测度，其绝对连续部分几乎处处满足 (n−1)inf H(y)。
• 建立 C2 域为平均凸当且仅当在分布意义下有 −∆d ≥ 0。
• 利用拉普拉斯算子的结构，推导出 L1 加权 Hardy 不等式余项中最佳常数的下界与上界。
• 通过添加最优加权 Hölder 半范数，对 p > n 时的 Lp Hardy 不等式进行局部改进。
• 运用变分与几何技巧，对具有最佳常数的 Sobolev 与 Hardy 不等式进行精化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有有限内半径的区域中，L1 加权 Hardy 不等式的最优齐次余项是什么？
• RQ2 边界平均曲率如何影响 L1 加权 Hardy 不等式余项的精确性？
• RQ3 余项中的最佳常数能否被精确刻画，特别是在球体情形下？
• RQ4 距离函数的分布式拉普拉斯算子在刻画平均凸性方面起什么作用？
• RQ5 如何通过包含 Hölder 半范数的最优余项改进 p > n 时的 Lp Hardy 不等式？

主要发现

• 到边界的距离函数的分布式拉普拉斯算子是一个符号 Radon 测度，其奇异部分非负，绝对连续部分几乎处处满足 (−∆d)ac ≥ (n−1)inf H(y)。
• C2 域为平均凸当且仅当在分布意义下有 −∆d ≥ 0。
• 在球体情形下，余项最佳常数的上界与下界重合，从而得到一系列具有最优常数的有限余项。
• L1 加权 Hardy 不等式余项中最佳常数的下界为 (n−1)inf H(y)，上界为总平均曲率。
• 在 p > n 时的 Lp Hardy 不等式中添加了最优加权 Hölder 半范数，以最佳常数精化了不等式。
• 结果同时精化了 Sobolev 不等式与 p > n 时的 Hardy 不等式，其中 Hardy 不等式在精化形式下呈现出最佳常数。