[论文解读] Hardy-Sobolev type inequalities and their applications

Bo-Yong Chen|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文建立了新的 Hardy-Sobolev 型不等式，并将其应用于推导全纯函数与多调和函数的 Hartogs 定理的定量推广，即使奇点集非紧致也成立。证明了在加权 $ L^2 $ 估计下，$ \bar{\nabla} $-方程的解存在，并表明在拉普拉斯算子满足特定衰减与可积性条件时，某点具有无穷阶零点的函数恒为零，从而推广了经典的唯一性延拓结果。

ABSTRACT

This paper is devoted to various applications of Hardy-Sobolev type inequalities. We derive a new $L^2$ estimate for the $\bar{\partial}-$equation on ${\mathbb C}^n$ which yields a quantitative generalization of the Hartogs extension theorem to the case when the singularity set is not necessary compact. We show that for any negative subharmonic function $ψ$ on ${\mathbb R}^n$, $n>2$, the BMO norm of $\log |ψ|$ is bounded above by $2\sqrt{n-2}$ and $|ψ|^γ$ satisfies a reverse Hölder inequality for every $0

研究动机与目标

• 在 ${\mathbb{C}}^n$ 上利用 Hardy-Sobolev 型不等式，发展 $ \bar{\nabla} $-方程的新 $ L^2 $ 估计。
• 将 Hartogs 延拓定理的推广结果定量扩展至非紧致奇点集的情形。
• 为多调和函数提供 $ \nabla\bar{\nabla} $-证明的 Hartogs 延拓定理。
• 在 ${\mathbb{R}}^n$ 上，$ n>2 $，为负子调和函数建立 BMO 有界性与反向 Hölder 不等式。
• 在完备黎曼流形上，为子调和函数建立 Liouville 型定理，并得到关于覆盖变换群的 Margulis 型结果。

提出的方法

• 利用加权 Hardy-Sobolev 不等式，推导出 ${\mathbb{C}}^n$ 上 $ \bar{\nabla} $-方程的新 $ L^2 $ 估计。
• 将不等式 (1.1) 应用于控制 $ \bar{\nabla}u = v $ 解的 $ L^2 $-范数，以数据的对偶加权范数表示。
• 使用带截断函数的 Carleman 型论证，证明具有无穷阶零点的解的唯一性延拓。
• 建立涉及 $ |x|^{-\tau}\phi $ 与 $ |x|^{2-\tau}\Delta\phi $ 的加权 Sobolev 型不等式，以控制原点附近的增长。
• 应用 Hölder 不等式与插值，以 $ \nabla\phi $ 与 $ \Delta\phi $ 的 $ L^2 $-范数控制 $ |x|^{1-\tau}\phi $ 的加权 $ L^\alpha $-范数。
• 构造具有受控 $ L^2 $-范数的梯度与拉普拉斯算子的截断函数 $ \chi_\varepsilon $，以实现估计的局部化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$ \bar{\nabla} $-方程的解存在，且其 $ L^2 $-估计依赖于数据的加权范数？
• RQ2 Hartogs 延拓定理能否被定量推广至非紧致奇点集？
• RQ3 当 $ \psi $ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 上的负子调和函数，$ n>2 $ 时，$ \log|\psi| $ 的最优 BMO 范数是多少？
• RQ4 所有 ${\mathbb{C}}^n$ 上的全纯凸函数是否都属于局部 BMO 空间？
• RQ5 在加权可积性条件下，满足 $ |\Delta u| \leq \omega^{1/\alpha}\omega' |u| $ 的解具有何种唯一性延拓性质？

主要发现

• 对于任意负子调和函数 $ \psi $ 在 ${\mathbb{R}}^n $ 上，$ n>2 $，有 $ \log|\psi| $ 的 BMO 范数上界为 $ 2\sqrt{n-2} $。
• 对任意 $ 0 < \gamma < 1 $，有 $ |\psi|^\gamma $ 在 ${\mathbb{R}}^n $ 上，$ n>2 $，满足反向 Hölder 不等式。
• 所有 ${\mathbb{C}}^n $ 上的全纯凸函数均为局部 BMO 函数。
• 若 ${\mathbb{C}}^n $ 中的有界区域覆盖了射影代数簇中的 Zariski 开集，则其覆盖变换群的中心是平凡的。
• 若解 $ u $ 满足 $ |\Delta u| \leq \omega^{1/\alpha}\omega' |u| $ 且在原点具有无穷阶零点，且 (9.8) 与 (9.9) 成立，则 $ u $ 在邻域内恒为零。
• 在加权不等式 (1.4) 下，$ \bar{\nabla}u = v $ 的解 $ u $ 满足 $ \|u\|_2 \leq 2\sqrt{2}\|v\|_{\omega^{-\alpha' / \alpha}, \alpha'} $。