[论文解读] Harmonic maps and para-Sasakian geometry

S. K. Srivastava, K. Srivastava|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文研究了从和到para-Sasakian流形的调和映射，引入了在几乎para-Hermitian与para-Sasakian流形之间定义的para全纯映射概念。推导了此类映射的张力场，并建立了从para-Sasakian流形到para-Sasakian流形的$(\phi_1,\phi_2)$-para全纯映射为$\phi_1$-para多重调和映射的充要条件，通过一个非平凡的三维例子得到验证，该例子中显式计算了度量和结构张量。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the harmonicity of maps to or from para-Sasakian manifolds. We derive the condition for the tension field of paraholomorphic map between almost para-Hermitian manifold and para-Sasakian manifold. The necessary and sufficient condition for a paraholomorphic map between para-Sasakian manifolds to be parapluriharmonic are shown and a non-trivial example is presented for its illustrations.

研究动机与目标

• 研究从几乎para-Hermitian流形到para-Sasakian流形的映射的调和性。
• 在para-Sasakian几何背景下定义并分析para全纯映射。
• 推导从para-Sasakian流形到para-Sasakian流形的para全纯映射为para多重调和映射的充要条件。
• 提供一个非平凡的几何例子以说明理论结果。
• 通过para复几何将调和映射理论扩展至para-Sasakian结构。

提出的方法

• 通过相容的几乎para复结构$J$、$\phi$和伪黎曼度量定义几乎para-Hermitian与para-Sasakian流形。
• 在几乎para-Hermitian与para-Sasakian流形之间引入$(J,\phi)$-para全纯映射的概念。
• 计算para全纯映射的张力场$\tau(f)$，并证明其属于水平分布$\Gamma(D_1)$。
• 利用第二基本形式$\alpha_f$与Levi-Civita联络，推导$\alpha_f$在$\phi_1$与$\phi_2$作用下的对称性与变换性质。
• 建立条件：当且仅当$\xi_2 \in (\text{Im } f_* )^\perp$时，有$\alpha_f(X,Y) = \alpha_f(\phi_1X,\phi_1Y)$，以保证para多重调和性。
• 构造一个三维例子，显式给出结构：$\phi_i$、$\xi_i$、$\eta_i$与度量$g_1$、$g_2$，通过直接计算联络与挠率验证理论条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 从几乎para-Hermitian流形到para-Sasakian流形的para全纯映射的张力场满足什么条件？
• RQ2 从para-Sasakian流形到para-Sasakian流形的$(\phi_1,\phi_2)$-para全纯映射在何种条件下为$\phi_1$-para多重调和？
• RQ3 如何构造一个满足para多重调和条件的非平凡para全洁映射例子？
• RQ4 水平分布与Reeb向量场在这些映射的调和性中起什么作用？
• RQ5 Nijenhuis挠率与Levi-Civita联络在此背景下如何影响para-Sasakian流形的几何结构？

主要发现

• 任何从几乎para-Hermitian流形到para-Sasakian流形的$(J,\phi)$-para全洁映射的张力场$\tau(f)$均位于水平分布$\Gamma(D_1)$中。
• 从para-Sasakian流形到para-Sasakian流形的$(\phi_1,\phi_2)$-para全洁映射为$\phi_1$-para多重调和映射，当且仅当Reeb向量场$\xi_2$与微分$f_*$的像正交。
• 在构造的三维例子中，映射$f(x,y,z) = (y,x,z)$是一个$(\phi_1,\phi_2)$-para全洁映射，且$\lambda(x) = 1$，满足$f_*\xi_1 = \xi_2$与$f^*\eta_2 = \eta_1$。
• 该例子确认了$\alpha_f(X,Y) = \alpha_f(\phi_1X,\phi_1Y)$成立，原因在于$g_2(\xi_2, f_*X) = 0$且$\lambda = 1$，从而验证了主定理。
• 在该例子中，$\phi_i$的Nijenhuis挠率为零，证实了几乎para接触结构的正规性。
• 对度量$g_1$与$g_2$的Levi-Civita联络均显式计算，且条件$p=0$、$q=-1$确认了$M_1^3$与$M_2^3$均为para-Sasakian流形。