[论文解读] Hausdorff dimension of univoque sets and Devil's staircase

Vilmos Komornik, Derong Kong+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 21被引用 10

一句话总结

本文为非整数基展开中具有唯一 $ q $-展开的实数集合 $ \mathcal{U}_q $ 的 Hausdorff 维数 $ D(q) $ 建立了完整公式，证明了对所有 $ q > 1 $，有 $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $，其中 $ h(\mathcal{U}_q') $ 是相应展开集的拓扑熵。维数函数 $ D(q) $ 连续、有界变差，并在 $ (q',\infty) $ 上表现出 Devil's staircase 行为，尽管几乎处处有 $ D'(q) < 0 $，但 $ D(q) > D(q') $ 对所有 $ q > q' $ 成立，其中 $ q' $ 为 Komornik–Loreti 常数。

ABSTRACT

We fix a positive integer $M$, and we consider expansions in arbitrary real bases $q&gt;1$ over the alphabet $\{0,1,...,M\}$. We denote by $U_q$ the set of real numbers having a unique expansion. Completing many former investigations, we give a formula for the Hausdorff dimension $D(q)$ of $U_q$ for each $q\in (1,\infty)$. Furthermore, we prove that the dimension function $D:(1,\infty) o[0,1]$ is continuous, and has a bounded variation. Moreover, it has a Devil's staircase behavior in $(q',\infty)$, where $q'$ denotes the Komornik--Loreti constant: although $D(q)&gt;D(q')$ for all $q&gt;q'$, we have $D'&lt;0$ a.e. in $(q',\infty)$. During the proofs we improve and generalize a theorem of Erdős et al. on the existence of large blocks of zeros in $β$-expansions, and we determine for all $M$ the Lebesgue measure and the Hausdorff dimension of the set of bases in which $x=1$ has a unique expansion.

研究动机与目标

• 确定所有 $ q > 1 $ 下无歧义集 $ \mathcal{U}_q $ 的精确 Hausdorff 维数 $ D(q) = \dim_H \mathcal{U}_q $，完成此前关于非整数基展开中无歧义集的研究。
• 证明维数函数 $ D(q) $ 连续且有界变差，解决其正则性方面的开放问题。
• 在 $ (q',\infty) $ 上建立 $ D(q) $ 的 Devil's staircase 行为，其中 $ q' $ 为 Komornik–Loreti 常数，尽管几乎处处导数为负。
• 推广并改进 Erdős 等人关于 $ \beta $-展开中零块的结果，尤其适用于任意 $ M \geq 1 $。
• 计算无歧义基集合 $ \mathcal{U} $ 的 Lebesgue 测度与 Hausdorff 维数，表明两者分别为零与一。

提出的方法

• 推导 Hausdorff 维数 $ D(q) $ 的一般公式 $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $，即使 $ \mathcal{U}_q' $ 不是子移位也成立。
• 使用拓扑熵 $ h(\mathcal{U}_q') = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log |B_n(\mathcal{U}_q')| $ 作为关键工具来表达 $ D(q) $。
• 应用经过改进的 Borel–Cantelli 引理，选取满足 $ n_k > \log_s(n_1 + \cdots + n_k) $ 且 $ \sum s^{-n_k} = \infty $ 的序列 $ (n_k) $，以分析 $ \beta(q) $ 中零块的频率。
• 利用 $ \beta(q) $（即 $ x=1 $ 的贪心展开）对无歧义基的字典序刻画，将 $ \mathcal{U} $ 与 $ \beta(q) $ 的结构联系起来。
• 通过区间划分与 $ \beta(q) $-展开块上的测度估计，证明 $ D(q) $ 的连续性与有界变差性。
• 通过证明 $ D(q) = h(\mathcal{U}_p') / \log q $ 在 $ p > q' $ 时关于 $ q $ 严格递减，且 $ h(\mathcal{U}_p') > 0 $，建立 $ D'(q) < 0 $ 几乎处处成立于 $ (q',\infty) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $ q > 1 $，具有唯一 $ q $-展开的实数集合 $ \mathcal{U}_q $ 的 Hausdorff 维数 $ D(q) $ 的精确公式是什么？
• RQ2 维数函数 $ D(q) $ 在 $ (1,\infty) $ 上是否连续且有界变差？
• RQ3 $ D(q) $ 在 $ (q',\infty) $ 上是否表现出 Devil's staircase 行为，即 $ D(q) > D(q') $ 对所有 $ q > q' $ 成立，但几乎处处有 $ D'(q) < 0 $？
• RQ4 Erdős 等人关于 $ \beta $-展开中零块的结果能否推广至任意 $ M \geq 1 $？
• RQ5 $ \mathcal{U} $ 无歧义基集合的 Lebesgue 测度与 Hausdorff 维数分别是多少？

主要发现

• 公式 $ D(q) = h(\mathcal{U}_q') / \log q $ 对所有 $ q > 1 $ 成立，即使 $ \mathcal{U}_q' $ 不是子移位，解决了关键开放问题。
• 维数函数 $ D(q) $ 在 $ (1,\infty) $ 上连续且有界变差，意味着其几乎处处可微。
• 在 $ (q',\infty) $ 上，$ D(q) $ 表现出 Devil's staircase 行为：对所有 $ q > q' $，有 $ D(q) > D(q') $，但几乎处处有 $ D'(q) < 0 $。
• 无歧义基集合 $ \mathcal{U} $ 的 Lebesgue 测度为零，Hausdorff 维数为一，扩展了 $ M=1 $ 时的早期结果。
• 本文推广并加强了 Erdős 等人关于 $ \beta $-展开中零块的结果，证明对几乎所有 $ q \in (1,r) $，$ \beta(q) $ 包含长度超过 $ \log_r m $ 的任意长零块，其中 $ m $ 可任意大。
• 在每个连通分支 $ (q_0, q_0^*) \subset (q',\infty) \setminus \overline{\mathcal{U}} $ 上，$ D'(q) < 0 $ 处处成立，因为当 $ p > q' $ 时，$ D(q) = h(\mathcal{U}_p') / \log q $ 关于 $ q $ 严格递减。