[论文解读] Heat kernel estimates and their stabilities for symmetric jump processes with general mixed polynomial growths on metric measure spaces

Joohak Bae, Jae-Hoon Kang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2019

advanced mathematical theories参考文献 55被引用 5

一句话总结

本论文在跳跃核具有广义混合多项式增长、且满足下标度指数大于1的条件下，建立了度量测度空间上对称纯跳跃马尔可夫过程的热核估计及其稳定性。该研究通过引入与速率函数无关的尺度函数，推广了先前的结果，并证明了基于F的有限矩条件与无穷远处广义Khintchine型迭代对数律之间的等价性。

ABSTRACT

In this paper, we consider a symmetric pure jump Markov process $X$ on a metric measure space with volume doubling conditions. Our focus is on estimating the transition density $p(t,x,y)$ of $X$ and studying its stability when the jumping kernel exhibits general mixed polynomial growth. Unlike previous work, in our setting, the rate function governing the jump growth may not be comparable to the scale function that determines whether $p(t,x,y)$ has near-diagonal or off-diagonal estimates. Under the assumption that lower scaling index of scale function is greater than $1$, we establish stabilities of heat kernel estimates. Additionally, if the metric measure space admits a conservative diffusion process with a transition density satisfying sub-Gaussian bounds, we generalize heat kernel estimates from [3, Theorems 1.2 and 1.4] using the rate function and the function $F$ related to walk dimension of underlying space. As an application, we prove the equivalence between a finite moment condition based on $F$ and a generalized Khintchine-type law of iterated logarithm at infinity for symmetric Markov processes.

研究动机与目标

• 推导度量测度空间上跳跃核具有广义混合多项式增长的对称纯跳跃马尔可夫过程的热核估计。
• 在跳跃核扰动下，建立这些热核估计的稳定性。
• 通过引入与行走维数相关的尺度函数F，推广[3, 定理1.2和1.4]中已有的热核估计结果。
• 证明基于F的有限矩条件与对称马尔可夫过程在无穷远处的广义Khintchine型迭代对数律之间的等价性。

提出的方法

• 作者定义了一个尺度函数Φ，使得Φ(d(x,y)) = t 确定近对角与非对角热核估计之间的阈值。
• 引入与底层空间行走维数相关的函数F，并利用其推广热核估计。
• 分析依赖于体积加倍条件以及尺度函数的下标度指数大于1的假设。
• 在UHKD(Φ)、Jψ,≤和EΦ的假设下，利用T(ϕ)类的性质，建立了热核估计的稳定性。
• 证明技术涉及构造辅助函数，并使用Φ、ϕ以及函数K(ρ) = Φ(ρ)/ρ的逆函数之间的不等式。
• 作者应用比较原理，并利用下标度条件控制尺度函数及其逆函数的增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可以为度量测度空间上跳跃核具有广义混合多项式增长的对称跳跃过程建立热核估计？
• RQ2 当速率函数与尺度函数不可比较时，热核估计的稳定性如何表现？
• RQ3 与行走维数相关的函数F在推广热核估计中起什么作用？
• RQ4 有限矩条件与无穷远处广义Khintchine型迭代对数律之间存在何种关系？
• RQ5 在一般标度假设下，能否证明有限矩条件与迭代对数律之间的等价性？

主要发现

• 论文在广义混合多项式增长下，建立了形式为p(t,x,y) ≍ (1/V(x,ϕ⁻¹(t)) ∧ t/(V(x,d(x,y))ϕ(d(x,y)))) 的热核估计。
• 当尺度函数的下标度指数大于1时，证明了热核估计的稳定性。
• 通过引入与行走维数相关的函数F，推广了[3, 定理1.2和1.4]中的热核估计结果。
• 证明了基于F的有限矩条件与广义Khintchine型迭代对数律在无穷远处的等价性。
• 证明依赖于函数K(ρ) = Φ(ρ)/ρ的构造，以及利用下标度和上标度条件控制其逆函数K⁻¹。
• 在体积加倍条件及尺度函数的下标度指数大于1的假设下，结果成立。