[论文解读] Heat kernels for time-dependent non-symmetric stable-like operators

Zhen-Qing Chen, Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文在不假设跳跃核 $\kappa(x,z)$ 对称的条件下，为时变、非对称的稳定类似算子建立了精确的双侧热核估计、梯度估计以及分数阶导数界。通过改进的Levi方法与扰动技术，作者在 $\kappa$ 满足 Hölder 连续性与一致有界性假设下，推导出热核 $p^\kappa_{t,s}(x,y)$ 的精确界，将先前结果推广至非对称与时变情形，并应用于非局部 Riesz 变换。

ABSTRACT

When studying non-symmetric nonlocal operators $$ {\cal L} f(x) = \int_{{\bf R}^d} \left( f(x+z)-f(x)- abla f(x)\cdot z 1_{\{|z|\leq 1\}} ight) \frac{κ(x, z)}{|z|^{d+α}} d z , $$ where $02d/(d+2α)$, $$ \| {\cal L}^{1/2}f\|_p\asymp \|Γ(f)^{1/2}\|_p, $$ where $Γ(f):=\frac{1}{2}{\cal L} (f^2)-f {\cal L} f$ is the carré du champ operator associated with ${\cal L}$, and ${\cal L}^{1/2}$ is the square root operator of ${\cal L}$ defined by using Bochner's subordination. Here $\asymp$ means that both sides are comparable up to a constant multiple.

研究动机与目标

• 将精确热核估计推广至非对称、时变的非局部算子，且不假设 $\kappa(x,z) = \kappa(x,-z)$。
• 在 $\kappa$ 的正则性要求最小的假设下，建立 $\mathscr{L}^\kappa_t$ 热核的双侧界。
• 当 $\beta \in (0 \vee (1 - \alpha), 1)$ 时，推导热核的梯度与分数阶导数估计。
• 分析非局部 Riesz 变换 $\mathscr{L}^{1/2}f \asymp \Gamma(f)^{1/2}$ 在 $p > 2d/(d + 2\alpha)$ 时的有界性。
• 将已有结果从对称情形推广至非对称与时变情形，包括 $\alpha \in (1,2)$ 时的漂移扰动。

提出的方法

• 使用改进的Levi方法，将基本解 $p^\kappa_{t,s}(x,y)$ 构造为迭代核与扰动项的级数形式。
• 应用参数化方法，对差值核 $q_{t,s}(x,y)$ 进行精细估计，以控制其正则性与可积性。
• 采用 dyadic 分解与尺度变换技术，利用函数 $\varrho^\beta_\gamma(t,x) = t^{\gamma/\alpha}(|x|^\beta \wedge 1)/(t^{1/\alpha} + |x|)^{d+\alpha}$ 控制热核及其导数的界。
• 通过积分表示与插值技术，对分数阶拉普拉斯算子估计 $\Delta^{\theta/2}p^\kappa_{t,s}(x,y)$，推导正则性界。
• 通过最大值原理应用于后向 Kolmogorov 方程 $\partial_t u + \mathscr{L}^\kappa_t u = 0$ 的解，证明热核的唯一性。
• 利用 Bochner 的次序化方法定义平方根算子 $\mathscr{L}^{1/2}$，并将其与 carré du champ $\Gamma(f)$ 关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设 $\kappa(x,z) = \kappa(x,-z)$ 的前提下，为非对称、时变的稳定类似算子获得精确的双侧热核估计？
• RQ2 当 $\kappa(x,z)$ 关于 $x$ 满足 Hölder 连续性时，热核具有哪些正则性性质（梯度、分数阶导数）？
• RQ3 跳跃核缺乏对称性如何影响非局部 Riesz 变换的有界性？
• RQ4 参数化方法能否被调整以处理光滑性要求最低的时变、非对称核？
• RQ5 当 $\alpha \in (1,2)$ 时，Kato 类中的漂移对热核有何影响？

主要发现

• 热核 $p^\kappa_{t,s}(x,y)$ 满足精确的双侧估计：对所有 $T > 0$ 及 $(t,x;s,y) \in \mathbb{D}^T_0$，有 $c_0^{-1} \varrho^0_\alpha(s-t,x-y) \leq p^\kappa_{t,s}(x,y) \leq c_0 \varrho^0_\alpha(s-t,x-y)$。
• 当 $\theta \in (0, (\alpha + \beta) \wedge 2)$ 时，分数阶导数满足 $|\Delta^{\theta/2}_x p^\kappa_{t,s}(\cdot,y)(x)| \leq c_1 \varrho^{0}_{\alpha - \theta}(s-t,x-y)$。
• 当 $\alpha \in [1,2)$ 或 $\alpha + \beta > 1$ 时，梯度估计成立，且满足 $|\nabla_x p^\kappa_{t,s}(\cdot,y)(x)| \lesssim \varrho^0_{\alpha - 1}(s-t,x-y)$。
• 热核在时间上一致连续，且在时空上联合连续，满足 $\|P^\kappa_{t,s}f - f\|_\infty \to 0$ 当 $|t-s| \to 0$ 时。
• 当 $\kappa(x,z) = \kappa(z)$ 为与空间无关时，非局部 Riesz 变换有界：对 $p > 2d/(d + 2\alpha)$，有 $\|\mathscr{L}^{1/2}f\|_p \asymp \|\Gamma(f)^{1/2}\|_p$。
• 通过后向方程 $\partial_t u + \mathscr{L}^\kappa_t u = 0$ 解的最大值原理，确立了热核的唯一性。