[论文解读] Heavy subsets and non-contractible trajectories

Morimichi Kawasaki|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新方法，通过哈密顿弗洛尔理论中**可缩轨迹**的欧-施瓦茨谱不变量，而非非可缩轨迹，来估计比兰-波尔特罗维奇-萨拉蒙的相对辛容量。研究证明，对于闭辛流形中 $n$-稳定非平移的子集 $X$，容量 $C(M,X,R;e)$ 等于 $\sum_{i=1}^n R_i \cdot |e_i|$，从而支持了关于稳定非平移性与容量有限性的猜想。

ABSTRACT

Entov and Polterovich defined heaviness for closed subsets of a symplectic manifold by using the Hamiltonian Floer theory on contractible trajectories. Heavy subsets are known to be non-displaceable. In the present paper, we define a relative symplectic capacity $C(M,X,R;e)$ for a symplectic manifold $(M,ω)$ and its subset $X$ which measures the existence of non-contractible trajectories of Hamiltonian isotopies on the product with annulus. We prove that $C(M,X,R;e)$ is finite if $(M,ω)$ is monotone and $X$ is a heavy subset. We also prove that $C(M,X,R;e)$ is infinite if $X$ is a displaceable compact subset.

研究动机与目标

• 通过使用来自可缩哈密顿弗洛尔轨迹的谱不变量，而非非可缩轨迹，重新估计比兰-波尔特罗维奇-萨拉蒙的相对辛容量。
• 研究比兰-波尔特罗维奇-萨拉蒙容量在非平移子集上是否有限，特别是在稳定非平移性背景下。
• 支持猜想 1.3，即对于 $n$-稳定非平移的紧致子集 $X$，有 $C(M,X,R;e) = \sum R_i |e_i|$。
• 定义并分析一种基于时间无关哈密顿流不变测度的新容量 $C^P$，为 $C(M,X,R;e)$ 提供下界。

提出的方法

• 利用来自哈密顿弗洛尔同调的欧-施瓦茨谱不变量，通过可缩轨迹估计比兰-波尔特罗维奇-萨拉蒙容量。
• 在 $M \times I_R^n \times T^n$ 上定义相对容量 $C(M,X,R;e)$，其辛形式为 $\operatorname{pr}_1^*\omega + \operatorname{pr}_2^*\omega_0$，其中 $X$ 是闭辛流形 $M$ 的紧致子集。
• 将 $n$-稳定非平移子集定义为满足 $X \times T^n$ 在 $M \times T^*T^n$ 中非平移的子集，推广了稳定平移性的概念。
• 在 $M \times T_{2R}^n \times T^n$ 上构造一个辛同伦 $\{\psi^t\}$，其流量匹配给定的上同调类，从而可应用定理 9.4 关于不变测度的结果。
• 引入一种基于闭 1-形式和哈密顿流不变测度的新容量 $C^P$，满足 $C^P \leq C$，并在相同假设下证明 $C^P = \sum R_i |e_i|$。
• 使用在 $I_R^n$ 上具有受控导数的截断函数 $\rho$ 构造哈密顿量 $H(x,p,q) = \rho(p)$，确保 $\int \lambda(X_H) \, d\mu \leq \lambda((0_M,e))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以使用来自可缩轨迹的谱不变量来估计比兰-波尔特罗维奇-萨拉蒙容量，而该容量传统上依赖于非可缩轨迹？
• RQ2 对于 $n$-稳定非平移子集 $X$，容量 $C(M,X,R;e)$ 是否有限？
• RQ3 对于 $n$-稳定非平移的 $X$，是否满足 $C(M,X,R;e) = \sum_{i=1}^n R_i \cdot |e_i|$，如猜想所述？
• RQ4 基于不变测度的新容量 $C^P$ 是否能为 $C(M,X,R;e)$ 提供下界，且是否在相同条件下达到与 $\sum R_i |e_i|$ 的相等？
• RQ5 稳定非平移性在确保容量的有限性与精确性方面起什么作用？

主要发现

• 本文证明，对于任意闭辛流形 $M$ 中的 $n$-稳定非平移紧致子集 $X$，容量 $C(M,X,R;e)$ 满足 $C(M,X,R;e) = \sum_{i=1}^n R_i \cdot |e_i|$。
• 通过哈密顿流不变测度定义的容量 $C^P(M,X,R;e)$ 在相同假设下也满足 $C^P(M,X,R;e) = \sum_{i=1}^n R_i \cdot |e_i|$。
• 通过构造哈密顿量 $H(x,p,q) = \rho(p)$，其中 $\rho$ 紧支集且满足 $|\partial\rho/\partial p_i| < |e_i|$，确保 $\int \lambda(X_H) \, d\mu \leq \lambda((0_M,e))$，这是下界的关键。
• 证明中使用了流量匹配 $K\mathbf{l}^*$ 的辛同伦 $\{\psi^t\}$，其中 $K$ 的选择使得 $(Ka_1,\dots,Ka_n) \in S_R$，从而可应用定理 9.4。
• 结果支持猜想 1.3，表明 $C(M,X,R;e)$ 是有限的，且对 $n$-稳定非平移集合精确等于 $\sum R_i |e_i|$。
• 提供了一个例子，其中即使 $X$ 是非平移的，也有 $C(M,X,R;e) = +\infty$，表明稳定非平移性是有限性的必要条件。