[论文解读] Heights, ranks and regulators of abelian varieties

Fabien Pazuki|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 4

一句话总结

该论文通过将法尔茨高度与单射直径及坏约化素数联系起来，建立了数域上阿贝尔簇的默德尔-韦伊秩的无条件显式上界。在兰-西尔弗曼高度猜想下，证明了在有稠密有理点的极化阿贝尔簇上，调节子的诺斯科特定理，通过一个改进的猜想，消除了主极化情形下对简化的假设。

ABSTRACT

We lower bound the Faltings height of an abelian variety over a number field by the sum of its injectivity diameter and the norm of its bad reduction primes. It leads to an unconditional bound on the rank of Mordell-Weil groups. Assuming the height conjecture of Lang and Silverman, we then obtain a Northcott property for the regulator on the set of simple abelian varieties defined over a fixed number field, of fixed dimension $g$, bounded rank and with dense rational points over a number field. We remove the simplicity assumption in the principally polarized case by giving a refined version of the Lang-Silverman conjecture.

研究动机与目标

• 建立数域上阿贝尔簇的默德尔-韦伊秩的无条件显式上界。
• 在兰-西尔弗曼高度猜想下，证明极化阿贝尔簇上调节子的诺斯科特定理。
• 在主极化情形下，消除诺斯科特定理中对简化的假设。
• 对兰-西尔弗曼猜想进行改进，使其适用于主极化情形下的非简化解。
• 通过将调节子、高度与扭结构联系起来，扩展数域与阿贝尔簇之间的类比。

提出的方法

• 根据坏约化素数的范数与复均匀化单射直径，推导阿贝尔簇法尔茨高度的下界。
• 应用矩阵引理，将调节子与连续最小值的乘积及阿贝尔簇的高度联系起来。
• 利用贝蒂尼型定理的显式界以及通过商的高减少，控制高度不等式中的常数。
• 对子簇使用归纳法，在自同态作用不稠密时，控制点的典范高度。
• 提出一个针对主极化情形的兰-西尔弗曼猜想的改进版本，使得可消除简化假设。
• 对默德尔-韦伊格点应用闵可夫斯基连续最小值不等式，将调节子与典范高度及法尔茨高度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从高度和坏约化数据中推导出默德尔-韦伊秩的无条件显式上界？
• RQ2 兰-西尔弗曼高度猜想是否蕴含在有稠密有理点的极化阿贝尔簇上，调节子的诺斯科特定理？
• RQ3 在主极化情形下，能否消除此类诺斯科特定理中的简化假设？
• RQ4 何种改进形式的兰-西尔弗曼猜想可实现该简化条件的消除？
• RQ5 数域与阿贝尔簇之间的类比（如调节子、类数、扭结构）如何延伸至调节子与高度？

主要发现

• 建立了法尔茨高度的无条件下界：$\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K) \geq c \frac{1}{d}\log N^{0}_{A/K} + c_0$，其中显式常数为 $c = (12g)^{-12g^{12g^{4g}}}$ 与 $c_0 = -1/c$。
• 对于极化阿贝尔簇，该界被加强，包含单射直径：$\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K) \geq c_1 \frac{1}{d}\log N^{0}_{A/K} + c_2 \frac{1}{d}\sum_{v\in M_K^\infty} d_v \rho(A_v, L_v)^{-2} + c_3$，其中 $c_1 = (12g)^{-12g^{12g^{4g}}}/17$，$c_2 = 1/17$，$c_3 = -1/c_1$。
• 在兰-西尔弗曼猜想下，调节子被下界控制为高度的幂，从而在维度、秩和扎里斯基稠密有理点有界的极化阿贝尔簇集合上，得出调节子的诺斯科特定理。
• 通过引入兰-西尔弗曼猜想的改进版本，消除了主极化情形下对简化的假设，该猜想以调节子和点的典范高度控制高度。
• 证明调节子下界为 $c_{36}^{m - m_0} \max\{\mathop{h_{\mathrm{F}}^{+}}(A/K), 1\}^{m - m_0}$，其中 $m$ 为默德尔-韦伊秩，$m_0$ 为阿贝尔子簇的最大秩。
• 该论文建立了数域与阿贝尔簇之间的完整对照表，将调节子、高度、类数、扭结构与单位秩联系起来。