[论文解读] Heisenberg algebras and rational double affine Hecke algebras

Peng Shan, Éric Vasserot|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 13

一句话总结

本文通过丛化循环有理双 affine Hecke 代数（RDAHA）的范畴 $\mathcal{O}$，对 Fock 空间上的 Heisenberg 代数作用实现了范畴化，将 $\mathcal{O}$ 的 Grothendieck 群上的支撑滤子与由 Heisenberg 作用定义的表示论分次联系起来。该研究通过水平-秩对偶性与范畴化的 Heisenberg 作用，解决了 Etingof 的一个猜想，给出了有限维 RDAHA 模的显式计数公式。

ABSTRACT

In this paper we categorify the Heisenberg action on the Fock space via the category O of cyclotomic rational double affine Hecke algebras. This permits us to relate the filtration by the support on the Grothendieck group of O to a representation theoretic grading defined using the Heisenberg action. This implies a recent conjecture of Etingof.

研究动机与目标

• 通过循环有理双 affine Hecke 代数（RDAHA）的范畴 $\mathcal{O}$，对 Fock 空间 $\mathcal{F}_\ell$ 上的 Heisenberg 代数作用实现范畴化。
• 将 $\mathcal{O}(\Gamma_n)$ 的 Grothendieck 群上的支撑滤子与通过 Heisenberg 作用定义的表示论分次联系起来。
• 证明 Etingof 的猜想，即 $H(\Gamma_n)$-模的支撑与 Fock 空间 $\mathcal{F}_\ell$ 上的分次之间的关系。
• 提供有限维 $H(\Gamma_n)$-模数量的显式公式，此前该公式尚不为人所知。

提出的方法

• 通过 cyclotomic RDAHA 的范畴 $\mathcal{O}$ 的有界导出范畴 $D^b(\mathcal{O}(\Gamma))$，对 Fock 空间 $\mathcal{F}_\ell$ 上的 Heisenberg 代数作用实现范畴化。
• 在 $\mathcal{O}(\Gamma)$ 上定义函子 $a^*_\lambda$、$a_{\lambda,*}$，使其在 Grothendieck 群 $[\mathcal{O}(\Gamma)]$ 上诱导出 Heisenberg 作用。
• 利用 Rouquier 的等价性，将 $\mathcal{O}(\Gamma_n)$ 与 $\zeta$-Schur 代数 $\mathbf{S}_\zeta(n,m)$ 的模范畴联系起来，从而实现表示论解释。
• 应用水平-秩对偶性，将 $\widehat{\mathfrak{gl}}_\ell$-模 $\mathcal{F}_\ell$ 与 $\widehat{\mathfrak{gl}}_\ell$ 上的水平 $m$ 作用联系起来，从而连接 $\mathcal{F}_{m,\ell}$ 与 $\mathcal{F}_\ell$。
• 通过归纳与限制函子 $A_{\lambda,!}$、$A_\lambda^*$、$A_{\lambda,*}$ 及其在 $D^b(\mathcal{O}(\Gamma))$ 上的 $\mathfrak{S}_r$-等变结构，构建范畴化作用。
• 利用 KZ 函子与 $\operatorname{Rep}(\mathbf{S}_\zeta(n,m))$ 上的辫状张量结构，将范畴化的 Heisenberg 作用与 Fock 空间分次联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过循环有理双 affine Hecke 代数的表示理论，对 Fock 空间上的 Heisenberg 代数作用实现范畴化？
• RQ2 在 $[\mathcal{O}(\Gamma_n)]$ 上的支撑滤子与由 Heisenberg 作用诱导的表示论分次之间，其精确关系为何？
• RQ3 对 Fock 空间上 Heisenberg 作用的范畴化是否能解决 Etingof 关于 $H(\Gamma_n)$-模支撑的猜想？
• RQ4 能否通过此范畴化方法显式计算有限维 $H(\Gamma_n)$-模的数量？
• RQ5 水平-秩对偶性在此背景下如何在 $\widehat{\mathfrak{sl}}_m$-模 $\mathcal{F}_{m,\ell}$ 与 $\widehat{\mathfrak{sl}}_\ell$-模 $\mathcal{F}_\ell$ 之间建立联系？

主要发现

• 本文通过 cyclotomic RDAHA 的范畴 $\mathcal{O}$ 构造了 Fock 空间 $\mathcal{F}_\ell$ 上 Heisenberg 代数作用的范畴化，建立了几何支撑与代数分次之间的联系。
• 证明了 $[\mathcal{O}(\Gamma_n)]$ 上的支撑滤子与由 Heisenberg 作用定义的表示论分次完全一致。
• 范畴化证明了 Etingof 的猜想：$H(\Gamma_n)$-模的支撑对应于 $\mathcal{F}_\ell$ 上的 Heisenberg 分次，从而为滤子提供了表示论解释。
• 通过范畴化的 Heisenberg 作用与水平-秩对偶性，推导出有限维 $H(\Gamma_n)$-模数量的显式公式。
• 利用水平-秩对偶性，将 $\widehat{\mathfrak{gl}}_\ell$-模 $\mathcal{F}_\ell$ 与 $\widehat{\mathfrak{gl}}_\ell$ 上的水平 $m$ 作用等同起来，从而实现从 $\mathcal{F}_{m,\ell}$ 到 $\mathcal{F}_\ell$ 的结构转移。
• 该构造利用了诱导函子上的 $\mathfrak{S}_r$-等变结构以及 $\operatorname{Rep}(\mathbf{S}_\zeta(n,m))$ 上的辫状张量结构，以定义范畴化的 Heisenberg 作用。