[论文解读] Helly meets Garside and Artin

Jingyin Huang, Damian Osajda|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 61被引用 9

一句话总结

该论文证明了有限型弱Garside群与FC型Artin群在Helly图上具有几何作用，从而证明它们是Helly群。通过引入cell-Helly复形的概念并利用局部到整体原理，作者表明这些群具有类似非正曲率的结构，并具备强组合凸性，从而推出双自动性、边界的存在性，以及Farrell-Jones与粗Baum-Connes猜想等主要猜想的可解性。

ABSTRACT

A graph is Helly if every family of pairwise intersecting combinatorial balls has a nonempty intersection. We show that weak Garside groups of finite type and FC-type Artin groups are Helly, that is, they act geometrically on Helly graphs. In particular, such groups act geometrically on spaces with convex geodesic bicombing, equipping them with a nonpositive-curvature-like structure. That structure has many properties of a CAT(0) structure and, additionally, it has a combinatorial flavor implying biautomaticity. As immediate consequences we obtain new results for FC-type Artin groups (in particular braid groups and spherical Artin groups) and weak Garside groups, including e.g.\ fundamental groups of the complements of complexified finite simplicial arrangements of hyperplanes, braid groups of well-generated complex reflection groups, and one-relator groups with non-trivial center. Among the results are: biautomaticity, existence of EZ and Tits boundaries, the Farrell-Jones conjecture, the coarse Baum-Connes conjecture, and a description of higher order homological and homotopical Dehn functions. As a mean of proving the Helly property we introduce and use the notion of a (generalized) cell Helly complex.

研究动机与目标

• 通过Helly图为有限型弱Garside群与FC型Artin群建立几何模型。
• 通过cell-Helly复形将小扰动条件推广至高维，作为C(4)-T(4)条件的推广。
• 为超越CAT(0)的群提供一种组合的、局部到整体的非正曲率框架，实现强于双自动性的凸性。
• 证明此类群通过Helly图在拟等距空间上具有几何作用，从而为其配备稳健的凸结构。

提出的方法

• 引入（广义）cell-Helly复形的概念，作为小扰动条件的高维类比。
• 利用[weaklymodular]中Helly图的局部到整体刻画，通过局部组合条件验证Helly性质。
• 通过分析球形子复形中单元的交集，证明FC型Artin群的Salvetti复形的万有覆叠是cell-Helly复形。
• 利用Garside范畴的格序性质与Coxeter复形的结构，证明成对相交的单元具有非空总交。
• 构造cell-Helly复形的加厚的1-骨架作为Helly图，确保群在此图上具有几何作用。
• 利用Helly图具有凸测地线双化与拟等距空间结构的事实，导出强算法与几何后果。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限型弱Garside群是否在Helly图上具有几何作用，从而具备类似非正曲率的结构？
• RQ2 小扰动条件C(4)-T(4)能否以一种捕捉高维Artin群几何性质的方式推广至高维？
• RQ3 FC型Artin群是否可通过其Salvetti复形获得Helly结构？若是，其万有覆叠中单元交集的性质如何？
• RQ4 cell-Helly性质与相关Helly图中凸测地线双化之间存在何种关系？
• RQ5 Helly性质如何导致强于CAT(0)或Garside标准形所给出的双自动性之外的更强凸性与算法性质？

主要发现

• 有限型弱Garside群与FC型Artin群是Helly群，即它们在Helly图上具有几何作用。
• FC型Artin群的Salvetti复形的万有覆叠是cell-Helly复形，满足高维小扰动条件。
• Salvetti复形中任意有限个成对相交的单元的交集非空且可缩，从而保证Helly性质。
• cell-Helly复形的加厚的1-骨架是Helly图，群在此图上具有几何作用。
• Helly结构蕴含双自动性、EZ边界与Tits边界的存在性，以及Farrell-Jones与粗Baum-Connes猜想的可解性。
• 通过Helly图的凸性与拟等距空间结构，描述了高阶同调与同伦Dehn函数。