[论文解读] Hereditary Graph Classes: When the Complexities of Colouring and Clique Cover Coincide

Alexandre Blanché, Konrad K. Dabrowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 32被引用 3

一句话总结

本文对 $(H, \overline{H})$-free 图的 Colouring 和 Clique Cover 的计算复杂性进行了分类，表明由于补图封闭性，这两个问题具有相同的复杂性。本文解决了大多数情况，仅剩下 $sP_1 + P_3$（$s \geq 3$）和 $sP_1 + P_4$（$s \geq 2$）尚未解决，且证明了在 $(P_6, \overline{P_1 + P_6})$-free 图中 5-Colouring 的 NP-完全性。

ABSTRACT

A graph is $(H_1,H_2)$-free for a pair of graphs $H_1,H_2$ if it contains no induced subgraph isomorphic to $H_1$ or $H_2$. In 2001, Král', Kratochv\'ıl, Tuza, and Woeginger initiated a study into the complexity of Colouring for $(H_1,H_2)$-free graphs. Since then, others have tried to complete their study, but many cases remain open. We focus on those $(H_1,H_2)$-free graphs where $H_2$ is $\overline{H_1}$, the complement of $H_1$. As these classes are closed under complementation, the computational complexities of Colouring and Clique Cover coincide. By combining new and known results, we are able to classify the complexity of Colouring and Clique Cover for $(H,\overline{H})$-free graphs for all cases except when $H=sP_1+ P_3$ for $s\geq 3$ or $H=sP_1+P_4$ for $s\geq 2$. We also classify the complexity of Colouring on graph classes characterized by forbidding a finite number of self-complementary induced subgraphs, and we initiate a study of $k$-Colouring for $(P_r,\overline{P_r})$-free graphs.

研究动机与目标

• 對 $(H, \overline{H})$-free 圖的 Colouring 和 Clique Cover 的複雜度進行分類，由於補圖封閉性，這兩個問題是等價的。
• 解決當 $H_2 = \overline{H_1}$ 且 $H_1$ 不是自補圖時，$(H_1, H_2)$-free 圖的 Colouring 複雜度分類中的開放問題。
• 將分類結果推廣至禁止有限個自補誘導子圖的圖類。
• 啟動對 $(P_r, \overline{P_r})$-free 圖的 $k$-Colouring 的研究，特別是針對 $r=6$ 的情況。
• 透過從 3-SAT 的歸約，證明 5-Colouring 在 $(P_6, \overline{P_1 + P_6})$-free 圖中是 NP-完全的，歸約過程中構造了一個圖 $G_{H,I}$。

提出的方法

• 利用 $(H, \overline{H})$-free 圖類的補圖封閉性，將 Colouring 和 Clique Cover 的複雜度等價起來。
• 結合已知的 $H$-free 圖結果與新構造，對 $(H, \overline{H})$-free 圖的複雜度進行分類。
• 透過從 3-SAT 的歸約證明 5-Colouring 的 NP-完全性，基於一個 $P_6$-free 的 4-臨界圖 $H$ 構造圖 $G_{H,I}$。
• 透過對誘導子圖的結構分析，證明 $G_{H,I}$ 避免了 $P_6$ 和 $\overline{P_1 + P_6}$，從而確保歸約的有效性。
• 分析構造中頂點類型（C、D、X、U）以排除誘導子圖 $\overline{P_1 + P_6}$ 的存在，透過對可能頂點集的分情況討論。
• 應用拉姆齊理論推理與誘導子圖枚舉，當假設存在禁止子圖時導出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於哪些圖 $H$，Colouring 在 $(H, \overline{H})$-free 圖上是多項式時間可解的？
• RQ2 $(P_r, \overline{P_r})$-free 圖的 $k$-Colouring 的複雜度為何，特別是當 $r=6$ 時？
• RQ3 在已知分類之後，哪些 $(H_1, H_2)$-free 圖類（其中 $H_2 = \overline{H_1}$）仍處於開放狀態？
• RQ4 是否可以對在補圖封閉下的圖類完全分類 Colouring 的複雜度？
• RQ5 5-Colouring 在 $(P_6, \overline{P_1 + P_6})$-free 圖中是否為 NP-完全？

主要发现

• 由於補圖封閉性，$(H, \overline{H})$-free 圖的 Colouring 和 Clique Cover 的複雜度是相同的。
• 若 $H \subseteq_i P_4$，則 $(H, \overline{H})$-free 圖上的 Colouring 是多項式時間可解的；否則為 NP-完全。
• $(H, \overline{H})$-free 圖中唯一尚未解決的情況是 $H = sP_1 + P_3$（$s \geq 3$）和 $H = sP_1 + P_4$（$s \geq 2$）。
• 5-Colouring 在 $(P_6, \overline{P_1 + P_6})$-free 圖中是 NP-完全的，透過從 3-SAT 的歸約證明，歸約中使用了一個 $P_6$-free 的 4-臨界圖。
• 構造的圖 $G_{H,I}$ 同時是 $P_6$-free 和 $\overline{P_1 + P_6}$-free，從而驗證了 NP-完全性的歸約。
• 對頂點類型與誘導子圖的結構分析排除了 $G_{H,I}$ 中存在 $\overline{P_1 + P_6}$ 的可能性，從而完成矛盾證明。