[论文解读] Hermann Hankel's "On the general theory of motion of fluids", an essay including an English translation of the complete Preisschrift from 1861

B. Villone, Cornelius Rampf|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 7被引用 5

一句话总结

本文提供了赫尔曼·汉克尔1861年《普雷西施rift》的首部完整英文翻译，该作品是拉格朗日流体动力学领域的开创性著作，运用先进的微分几何与变分原理推导流体运动方程。研究揭示了汉克尔通过函数行列式对体积守恒与物质连续性所作的深刻洞察，确立了如今被称为‘密度方程’和‘体积恒定方程’的基础性成果——这些贡献在现代表述出现前数十年即已提出，是连续介质力学的重要奠基性工作。

ABSTRACT

The present is a companion paper to "A contemporary look at Hermann Hankel's 1861 pioneering work on Lagrangian fluid dynamics" by Frisch, Grimberg and Villone (2017). Here we present the English translation of the 1861 prize manuscript from Göttingen University "Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten" (On the general theory of the motion of the fluids) of Hermann Hankel (1839-1873), which was originally submitted in Latin and then translated into German by the Author for publication. We also provide the English translation of two important reports on the manuscript, one written by Bernhard Riemann and the other by Wilhelm Eduard Weber, during the assessment process for the prize. Finally we give a short biography of Hermann Hankel with his complete bibliography.

研究动机与目标

• 提供赫尔曼·汉克尔1861年德文《普雷西施rift》的完整英文翻译，原文为拉丁文，原为提交给哥廷根大学奖项之用。
• 翻译并发表伯纳德·黎曼与威廉·爱德华·韦伯对汉克尔作品的两份关键评审报告，这两份报告在奖项评定中起到了决定性作用。
• 通过将其置于流体动力学与微分几何史的语境中，使汉克尔被忽视的1861年著作重获学术关注。
• 提供一份详尽的生平传记与完整参考书目，以增强对其学术遗产的可及性。
• 突出汉克尔在拉格朗日框架下运用变分法与微分几何时的原创性与深度，尤其体现在流体运动研究中。

提出的方法

• 基于哥廷根大学收藏的经核实的数字化副本，对1861年原始德文《普雷西施rift》进行翻译，来源为HathiTrust数字图书馆。
• 在可能的情况下，补充原始拉丁文手稿内容，尽管拉丁文本被认为已遗失；主要依赖德文版本作为原始文本。
• 翻译两份关键委员会评审信：一份由伯纳德·黎曼撰写，一份由威廉·爱德华·韦伯撰写，二者在评估汉克尔工作时均具决定性作用。
• 采用一致的符号与公式编号系统，并在配套论文中添加[p.n]标签以实现公式的交叉引用。
• 使用译者脚注（T.[n]）与作者脚注（A.[n]），以保留原始注释并阐明技术性说明。
• 推导并呈现位置变量（x, y, z）对物质坐标（a, b, c）的函数行列式，从而导出体积守恒条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 赫尔曼·汉克尔在1861年如何以拉格朗日坐标表述流体运动方程？其方法的创新性何在？
• RQ2 在现代数学中这些工具尚未正式发展之前，微分几何与变分原理在汉克尔处理流体动力学时发挥了何种作用？
• RQ3 为何尽管汉克尔对物质连续性与体积守恒有深刻洞见，其工作最初仍被忽视？
• RQ4 黎曼与韦伯的评审意见在当时如何影响汉克尔工作的认可度？
• RQ5 函数行列式在连接欧拉表示与拉格朗日表示的流体流动中具有何种意义？

主要发现

• 汉克尔将不可压缩流的条件表述为：(x, y, z)对(a, b, c)的函数行列式等于1，这等价于现代所称的‘体积恒定方程’。
• 本文确立了：若从物质坐标到空间坐标的变换的雅可比行列式为1，则流体元的体积在运动中保持不变。
• 汉克尔证明了微小几何形状（如四面体、椭球面与平面）在流体运动中保持其拓扑与几何性质，从而证实了物质连续性。
• 该研究揭示：形变梯度矩阵的行列式（以体积比T/T₀表示）与密度比(ϱ₀/ϱ)直接相关，构成了连续性方程的基础。
• 汉克尔在1861年即运用变分法与微分几何时，其思想领先现代连续介质力学表述逾一个世纪。
• 黎曼与韦伯评审报告的翻译证实，尽管其作品在后世文献中长期被忽视，但当时即被顶尖数学家视为数学上深刻且具有创新性的成果。