[论文解读] Hermitian Harmonic maps and non-degenerate curvatures

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文建立了从紧致赫尔米特流形到具有非退化曲率的凯勒或黎曼目标流形的赫尔米特调和与全纯调和映射的刚性与解析性结果。通过在非凯勒赫尔米特流形上使用改进的Bochner公式，证明了在曲率与秩条件约束下，此类映射为全纯、反全纯或常值映射，将Siu、Jost-Yau与Sampson的经典结果推广至非凯勒情形。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of various harmonic maps from Hermitian manifolds to Kaehler, Hermitian and Riemannian manifolds respectively. By using refined Bochner formulas on Hermitian (possibly non-Kaehler) manifolds, we derive new rigidity results on Hermitian harmonic maps from compact Hermitian manifolds to Riemannian manifolds, and we also obtain the complex analyticity of pluri-harmonic maps from compact complex manifolds to compact Kaehler manifolds (and Riemannian manifolds) with non-degenerate curvatures, which are analogous to several fundamental results in [28,Siu], [14,Jost-Yau] and [26, Sampson].

研究动机与目标

• 将经典调和映射刚性定理推广至赫尔米特（非凯勒）流形。
• 建立赫尔米特调和或全纯调和映射为全纯、反全纯或常值的条件。
• 通过曲率与秩约束，将Siu与Jost-Yau关于调和映射的结果推广至非凯勒区域。
• 研究非退化曲率与$\delta$-条件（$\partial\overline{\partial}\omega^{m-2}_h = 0$）在映射刚性中的作用。
• 厘清赫尔米特流形上各类调和映射（经典、$\partial$-、$\overline{\partial}$-、赫尔米特）之间的区别。

提出的方法

• 为具有非平凡挠率的赫尔米特流形推导改进的Bochner公式，借鉴Eells-Sampson与Jost-Yau的技术。
• 使用赫尔米特调和映射方程：$-h^{\alpha\overline{\beta}}\left(\frac{\partial^2 f^i}{\partial z^\alpha \partial \overline{z}^\beta} + \Gamma_{jk}^i \frac{\partial f^j}{\partial \overline{z}^\beta} \frac{\partial f^k}{\partial z^\alpha}\right) = 0$。
• 应用广义散度自由结构：$\left(\overline{\partial}_E - 2\sqrt{-1}\partial^*\omega_h\right)^*\left(\overline{\partial}f\right) = 0$。
• 引入非退化曲率的概念（定义4.1），推广Siu的强正曲率。
• 应用Stokes定理与$(1,1)$-形式积分，证明在拓扑或曲率约束下$\omega_0 = 0$。
• 使用曲率收缩恒等式：$R_{ijk\ell} \left( h^{\alpha\overline{\beta}} \frac{\partial f^i}{\partial z^\alpha} \frac{\partial f^\ell}{\partial \overline{z}^\beta} \right) \left( h^{\gamma\overline{\delta}} \frac{\partial f^j}{\partial z^\gamma} \frac{\partial f^k}{\partial \overline{z}^\delta} \right) = 0$以约束秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从紧致赫尔米特流形到黎曼流形的赫尔米特调和映射为全纯或常值？
• RQ2 Siu的全纯性刚性结果能否推广至非凯勒赫尔米特区域？
• RQ3 条件$\partial\overline{\partial}\omega^{m-2}_h = 0$（即astheno-Kähler）在映射刚性中起何作用？
• RQ4 目标流形上的非退化曲率如何约束全纯调和映射微分的秩？
• RQ5 在何种条件下，从紧致复流形到凯勒或黎曼流形的全纯调和映射必为常值？

主要发现

• 若$f: (M,h) \to (N,g)$是赫尔米特调和映射，且满足$\partial\overline{\partial}\omega_h^{m-2} = 0$，且$(N,g)$具有强赫尔米特负曲率，则$\text{rank}_{\mathbb{R}} df \leq 2$，且当$\dim_{\mathbb{C}} M > 1$时，无法浸入常负曲率流形。
• 从紧致复流形$M$到具有非退化曲率的紧致凯勒流形$(N,g)$的全纯调和映射$f: M \to (N,g)$，若$\text{rank}_{\mathbb{R}} df \geq 4$，则为全纯或反全纯。
• 若$\text{rank}_{\mathbb{R}} df < 2m$，则任何映射到具有非退化曲率的凯勒或黎曼流形的全纯调和映射均为常值。
• 对于Calabi-Eckmann流形$\mathbb{S}^{2p+1} \times \mathbb{S}^{2q+1}$，若$p+q \geq n$，则任何映射到$N(c)$的全纯调和映射均为常值。
• 从$\mathbb{CP}^m$到$\mathbb{CP}^n$的全纯调和映射为常值（当$m > n$时）；从$\mathbb{CP}^n$到实空间形式$N(c)$的全纯调和映射为常值（当$n \geq 2$时）。
• 若目标流形在某点具有非退化赫尔米特曲率，则对任意全纯调和映射$f: M \to (N,g)$，有$\text{rank}_{\mathbb{R}} df(p) \leq 2$。