[论文解读] Hermitian manifolds with semi-positive holomorphic sectional curvature

Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文证明了，具有半正但不恒为零的全纯截面曲率的紧致赫尔米特流形的双有理几何与代数几何性质满足 Kodaira 维数为 $-\infty$，从而解决了丘猜想的一个部分情形。此外，文章进一步表明，尽管 Kodaira 曲面与双椭圆曲面具有 nef 切丛，却无法容许此类度量；并且，若凯勒型卡拉比–丘流形具有半正全纯截面曲率，则其必为环面，从而为非凯勒几何中的曲率正性提供了新的障碍。

ABSTRACT

We prove that a compact Hermitian manifold with semi-positive but not identically zero holomorphic sectional curvature has Kodaira dimension $-\infty$. As applications, we show that Kodaira surfaces and hyperelliptic surfaces can not admit Hermitian metrics with semi-positive holomorphic sectional curvature although they have nef tangent bundles.

研究动机与目标

• 确定紧致赫尔米特流形上半正全纯截面曲率的双有理几何与代数几何影响。
• 研究具有 nef 切丛的流形（如 Kodaira 曲面与双椭圆曲面）是否可容许具有半正全纯截面曲率的赫尔米特度量。
• 阐明全纯截面曲率与典范/反典范丛的充分性或挠率性质之间的关系。
• 将丘关于正全纯截面曲率的猜想扩展至更广义的赫尔米特流形（不一定是凯勒型）情形。
• 为非凯勒型卡拉比–丘流形上此类度量的存在性提供新的障碍，包括对角 Hopf 流形作为充分性期望的反例。

提出的方法

• 利用局部全纯坐标下的曲率张量展开，通过 Chern 连接与曲率分量分析全纯截面曲率。
• 应用凯勒对称性与曲率收缩技术，证明常数零全纯截面曲率蕴含平坦性与复平行化。
• 利用复平行化流形仅当为环面时才是凯勒流形的事实，对非环面流形在零曲率情形导出矛盾。
• 应用射影丛（如 Hirzebruch 曲面）典范丛的已知结果，表明 $K_Y^{-1}$ 虽有效但不充分。
• 利用卡拉比–丘流形典范丛的定理（包括 $K_X$ 的挠率性质），推导出半正曲率蕴含平坦性，从而得出环面结构。
• 利用射影丛的邻接公式计算 $K_Y$ 与 $K_Y^{-1}$，并从假设 $K_Y^{-1}$ 的充分性出发导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有半正但不恒为零的全纯截面曲率的紧致赫尔米特流形是否必然具有 Kodaira 维数 $-\infty$？
• RQ2 Kodaira 曲面或双椭圆曲面（尽管具有 nef 切丛）是否可容许具有半正全纯截面曲率的赫尔米特度量？
• RQ3 若紧致卡拉比–丘流形容许具有半正全纯截面曲率的凯勒度量，则其是否必为环面？
• RQ4 正全纯截面曲率是否如负曲率对典范丛的作用一样，蕴含反典范丛的充分性？
• RQ5 非凯勒型卡拉比–丘流形在具有半正全纯截面曲率时，其几何结构受到何种限制？

主要发现

• 具有半正但不恒为零的全纯截面曲率的紧致赫尔米特流形的 Kodaira 维数为 $-\infty$。
• 尽管具有 nef 切丛，Kodaira 曲面与双椭圆曲面无法容许具有半正全纯截面曲率的赫尔米特度量。
• 若紧致卡拉比–丘流形容许具有半正全纯截面曲率的凯勒度量，则其必为环面。
• Hirzebruch 曲面 $Y = \mathbb{P}(\mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^1}(-k) \oplus \mathcal{O}_{{\mathbb{P}}^1})$（$k \geq 2$）容许具有正全纯截面曲率的凯勒度量，但其反典范丛不充分。
• 对角 Hopf 流形是非凯勒型卡拉比–丘流形，具有半正全纯截面曲率，表明此类曲率并不蕴含反典范丛的充分性。
• 凯勒流形上常数零全纯截面曲率蕴含平坦性与复平行化，从而得出：若为凯勒型，则此类流形必为环面。