[论文解读] Heron triangle and rhombus pairs with a common area and a common perimeter

Yong Zhang, Junyao Peng|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Mathematics and Applications参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文利用代数曲线上的有理点生成法（费马方法）证明了存在无穷多组面积与周长相等的赫罗恩三角形和θ-整数菱形。相比之下，由于推导出的亏格2双椭圆曲线无有理点解，本文证明了不存在此类整数等腰三角形与θ-整数菱形的配对。

ABSTRACT

By Fermat's method, we show that there are infinitely many Heron triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter. Moreover, we prove that there does not exist any integral isosceles triangle and $θ$-integral rhombus pairs with a common area and a common perimeter.

研究动机与目标

• 确定赫罗恩三角形与θ-整数菱形是否可以同时共享面积与周长。
• 研究是否存在整数等腰三角形与θ-整数菱形配对，其面积与周长相等。
• 应用费马在代数曲线上生成有理点的方法来构造解。
• 分析控制面积与周长相等的底层丢番图方程。
• 通过亏格2曲线分析证明等腰三角形情形下无解。

提出的方法

• 使用布罗马古普塔公式，以有理参数u、v、w参数化赫罗恩三角形，令w = 1以保持齐次性。
• 通过参数t ≥ 1，用有理边长p与有理sinθ、cosθ来建模θ-整数菱形。
• 推导出使三角形与菱形周长相等、面积相等的方程组。
• 消去p后，得到关于u与t的四次丢番图方程，从而得到曲线C₁: s² = g(t)。
• 应用费马方法，假设二次形式s = rt² + qt + 2u，以强制产生有理解。
• 利用所得曲线上有理点P′，生成u > √3/3的无穷多组有理解。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无穷多组面积与周长相等的赫罗恩三角形与θ-整数菱形配对？
• RQ2 一个整数等腰三角形与一个θ-整数菱形能否同时共享面积与周长？
• RQ3 何种代数结构决定了此类配对的存在性？
• RQ4 费马的有理点生成法如何应用于解的构造？
• RQ5 亏格2双椭圆曲线在证明等腰三角形情形下无解中起什么作用？

主要发现

• 通过在有理曲线上应用费马方法，证明了存在无穷多组面积与周长相等的赫罗恩三角形与θ-整数菱形配对。
• 当u = 1时，赫罗恩三角形(8, 15, 17)与边长为10、sinθ = 3/5的菱形共享面积60与周长40。
• 当u = 2时，赫罗恩三角形(1804, 2040, 1732)与边长为1394、sinθ = 528/697的菱形共享面积1,472,064与周长5,576。
• 方程W² = U⁶ − 4U⁴ + 8U² − 4仅有有理点解(U, W) = (±1, ±1)，对应平凡解。
• 等腰三角形情形下无非平凡有理点解，从而证明不存在此类整数配对。
• 无解结果源于亏格2曲线的秩为1的雅可比簇，以及Magma中的Chabauty计算。