[论文解读] Heterotic String Models on Smooth Calabi-Yau Threefolds

Andrei Constantin|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 135被引用 9

一句话总结

本论文提出了一套系统框架，通过在具有自由 $Χ_3$ 作用的完备交 Calabi-Yau (CICY) 流形上使用全纯且多稳定性线丛的直和，构建了光滑 Calabi-Yau 三复形上的 $E_8 \times E_8$ 杂化弦理论紧化。该研究证明，此类模型可实现 $Χ=1$ 超对称 GUT 理论，其规范群为 $SU(5)\times U(4)$，且物质内容与最小超对称标准模型一致，包括一个或多个 Higgs 双重态对，无任何奇异场，同时通过异常 $U(1)$ 对称性抑制了质子衰变等危险算符。

ABSTRACT

This thesis contributes with a number of topics to the subject of string compactifications. In the first half of the work, I discuss the Hodge plot of Calabi-Yau threefolds realised as hypersurfaces in toric varieties. The intricate structure of this plot is explained by the existence of certain webs of elliptic-K3 fibrations. Such manifolds arise from reflexive polytopes that can be cut into two parts along K3 slices. Any two half-polytopes over a given slice can be combined into a reflexive polytope. This fact, together with a remarkable relation on the additivity of Hodge numbers, give to the Hodge plot the appearance of a fractal. Moving on, I discuss a different type of web by looking at smooth $\mathbb{Z}_3$-quotients of complete intersection Calabi-Yau threefolds in products of projective spaces. In the second half of the work, I explore an algorithmic approach to constructing heterotic compactifications with holomorphic and polystable sums of line bundles over complete intersection Calabi-Yau threefolds that admit freely acting discrete symmetries. Such abelian bundles lead to $N=1$ GUT theories with gauge group $SU(5) imes U(4)$. The extra $U(1)$ symmetries are generically Green-Schwarz anomalous and survive in the low energy theory as global symmetries that constrain the allowed operators. The line bundle construction allows for a systematic computer search resulting in a plethora of models with one or more pairs of Higgs doublets and no exotic fields charged under the Standard Model group. In the last part of the thesis I focus on the case study of the tetraquadric threefold and address the question of the finiteness of the class of consistent and physically viable line bundle models on this manifold. Line bundle sums provide an accessible window into the moduli space of non-abelian bundles. I explore this moduli space around the abelian locus using monad bundles.

研究动机与目标

• 通过自由群商构造具有非单连通拓扑的光滑 Calabi-Yau 三复形上的物理可行 $E_8 \times E_8$ 杂化紧化。
• 开发一种算法化方法，利用 CICY 上的线丛直和生成 $Χ=1$ 超对称 GUT 模型，其规范群为 $SU(5)\times U(4)$，且物质内容最小化。
• 通过近似线丛直和点附近的单子构造，探索非阿贝尔丛的模空间，确保稳定性与正确的粒子谱。
• 利用物理与拓扑约束，研究四次四维 Calabi-Yau 超曲面中一致线丛模型的有限性。

提出的方法

• 利用反射多面体与塔里克几何对 Calabi-Yau 三复形进行分类，将其视为塔里克流形中的超曲面，重点研究通过沿 $K3$-纤维截面切片得到的椭圆-K3 纤维丛网络。
• 应用 Hodge 数的可加性引理，解释反射多面体构造中 Hodge 图呈现分形结构的原因。
• 将非单连通 Calabi-Yau 三复形构造为单连通 CICY 的 $Χ_3$ 商，实现模型间的奇点转变。
• 通过 CICY 上的全纯且多稳定性线丛直和，实现 $Χ=1$ GUT 模型，其规范对称性为 $SU(5)\times U(4)$，物质表示与标准模型类似。
• 利用单子构造描述线丛直和点附近的 $S(U(4)\times U(1))$-丛的模空间，确保稳定性与正确的场内容。
• 结合物理假设（超引力有效性、Calabi-Yau 体积边界）与拓扑约束（稳定性、陈类），论证四次四维流形上可行线丛模型的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 反射多面体中椭圆-K3 纤维丛网络如何生成 Calabi-Yau 三复形 Hodge 图的分形结构？
• RQ2 CICY 三复形上的自由 $Χ_3$ 作用能否产生支持可行杂化紧化的非单连通 Calabi-Yau 流形？
• RQ3 四次四维 Calabi-Yau 超曲面上一致 $Χ=1$ 杂化线丛模型的结构与有限性如何？
• RQ4 单子构造如何描述 Kähler 模空间中线丛直和点附近非阿贝尔丛模空间的结构？
• RQ5 线丛模型中的异常 $U(1)$ 对称性在多大程度上约束低能有效理论，特别是对质子衰变的抑制作用？

主要发现

• 作为塔里克流形中超曲面的 Calabi-Yau 三复形的 Hodge 图呈现出分形结构，其成因是椭圆-K3 纤维丛网络与 Hodge 数的可加性特性。
• 非单连通 Calabi-Yau 三复形作为单连通 CICY 的 $Χ_3$ 商而出现，且许多此类模型可通过奇点转变相互连接。
• CICY 上的线丛直和模型可实现 $Χ=1$ 超对称 GUT 理论，其规范群为 $SU(5)\times U(4)$，物质场位于 $\mathbf{10}$、$\overline{\mathbf{10}}$、$\mathbf{5}$、$\overline{\mathbf{5}}$ 和 $\mathbf{1}$ 表示中，与最小超对称标准模型一致。
• 这些模型中的异常 $U(1)$ 对称性作为全局对称性，可禁止维度四和维度五的质子衰变算符，从而增强其现象学可行性。
• 四次四维 Calabi-Yau 超曲面上一致且物理可行的线丛模型类是有限的，这是由 Kähler 锥上的物理假设与拓扑稳定性约束所证明。
• 单子构造可完整描述线丛直和点附近的多稳定性 $S(U(4)\times U(1))$-丛，这些模型在 Kähler 模空间中构成余维数为一的子集。