[论文解读] Heun-Polynomial Representation of Regular-at-Infinity Solutions for the Basic SUSY Ladder of Hyperbolic Pöschl-Teller Potentials Starting from the Reflectionless Symmetric Potential Well

Gregory Natanson|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 45被引用 5

一句话总结

该论文通过以反射对称的无限 well 为种子，推导出具有整数参数的双曲型 Pöschl-Teller 势下一维薛定谔方程在无穷远处正则解的 Heun 多项式表示。研究表明，这些解在变量变换后，构成具有零附加参数的复 Lambe-Ward 多项式的一个子集，并可作为几乎处处全纯的因式分解函数，通过规范的 Liouville-Darboux 变换生成形状不变的有理势能。

ABSTRACT

It is shown that the regular-at-infinity solution of the 1D Schrodinger equation with the hyperbolic Poschl-Teller (h-PT) potential with integer parameters is expressible in terms of a n-order Heun polynomial in y=thr at an arbitrary negative energy. It was proven that the Heun polynomials in question form a subset of generally complex Lambe-Ward polynomials corresponding to zero value of the accessory parameter. Since the mentioned solution expressed in the new variable y has an almost-everywhere holomorphic (AEH) form it can be used as the factorization function (FF) for canonical Liouville-Darboux transformations (CLDTs) to construct a continuous family of shape-invariant rational potentials exactly-solvable by the Hp-seed (HpS) Heine polynomials. There are also two sequences of infinitely many rational potentials generated using CLDTs with nodeless regular-at-origin AEH FFs.

研究动机与目标

• 推导具有整数参数的双曲型 Pöschl-Teller 势在无穷远处正则解的闭式表示。
• 建立这些解与具有零附加参数的 Heun 多项式之间的联系。
• 利用这些解作为几乎处处全纯的因式分解函数，实施规范的 Liouville-Darboux 变换。
• 通过这些变换生成连续的形状不变有理势能族。
• 探索利用无节点、在原点正则的几乎处处全纯因式分解函数，构建两组无限有理势能序列。

提出的方法

• 将具有双曲型 Pöschl-Teller 势的一维薛定谔方程通过变量变换 y = tanh(r) 转化为新形式，从而实现无穷远处正则解的表示。
• 将解表示为变量 y 的 n 阶 Heun 多项式，适用于任意负能量。
• 证明这些 Heun 多项式是具有零附加参数的一般复 Lambe-Ward 多项式的子集。
• 利用解的几乎处处全纯（AEH）性质，定义规范 Liouville-Darboux 变换（CLDT）中的因式分解函数（FF）。
• 应用 CLDT 生成一个连续的形状不变有理势能族，其精确解可通过 Hp-seed Heine 多项式实现。
• 通过无节点、在原点正则的 AEH 因式分解函数，构建两组额外的无限有理势能序列。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维薛定谔方程在双曲型 Pöschl-Teller 势下，无穷远处正则解能否表示为 Heun 多项式？
• RQ2 这些 Heun 多项式与 Lambe-Ward 多项式族之间存在何种关系，特别是当附加参数为零时？
• RQ3 如何利用解的几乎处处全纯（AEH）形式作为规范 Liouville-Darboux 变换中的因式分解函数？
• RQ4 通过使用此 AEH 解作为种子，CLDT 能够生成哪一类形状不变的有理势能？
• RQ5 能否利用从该解导出的无节点、在原点正则的 AEH 因式分解函数，构造出无限有理势能序列？

主要发现

• 具有整数参数的双曲型 Pöschl-Teller 势在无穷远处正则解，可表示为 y = tanh(r) 变量下的 n 阶 Heun 多项式，适用于任意负能量。
• 这些 Heun 多项式构成具有零附加参数的复 Lambe-Ward 多项式的子集。
• 在 y 变量下，该解为几乎处处全纯（AEH），使其可作为规范 Liouville-Darboux 变换（CLDT）中因式分解函数（FF）使用。
• 利用此 AEH FF，可生成一个连续的形状不变有理势能族，其精确解可通过 Hp-seed Heine 多项式实现。
• 通过使用无节点、在原点正则的 AEH 因式分解函数，利用 CLDT 构建了两组无限有理势能序列。
• 该方法提供了一套系统化框架，可从单一的反射对称无限势阱种子，生成精确可解且形状不变的势能。