[论文解读] Heuristics in direction of a p-adic Brauer--Siegel theorem

Georges Gras|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种类经典 Brauer–Siegel 定理的 p 进版本，猜想在全实数域 $K$ 的最大阿贝尔 p-分歧的 p 进扩张的伽罗华群中，挠子群 $mathrm{TK}$ 的 p 进赋值被判别式 $D_K$ 对数有界。通过代数数论与 PARI/GP 的数值验证，作者引入了一个归一化不变量 $C_p(K) = mathrm{vp}(mathrm{\#mathrm{TK}}) \cdot \log p / \log \sqrt{D_K}$，并提供了强有力的启发式与计算证据，表明对固定的 $p$，有 $\sup_K C_p(K) < \infty$，暗示存在普遍的 p 进 Brauer–Siegel 行为。

ABSTRACT

Let p be a fixed prime number. Let K be a totally real number field of discriminant D\_K and let T\_K be the torsion group of the Galois group of the maximal abelian p-ramified pro-p-extension of K (under Leopoldt's conjecture). We conjecture the existence of a constant C\_p>0 such that log(\#T\_K) $\le$ C\_p log(\sqrt(D\_K)) when K varies in some specified families (e.g., fields of fixed degree). In some sense, we suggest the existence of a p-adic analogue, of the classical Brauer--Siegel Theorem, wearing here on the valuation of the residue at s=1 (essentially equal to \#T\_K) of the p-adic zeta-function zeta\_p(s) of K.We shall use a different definition that of Washington, given in the 1980's, and approach this question via the arithmetical study of T\_K since p-adic analysis seems to fail because of possible abundant "Siegel zeros" of zeta\_p(s), contrary to the classical framework.We give extensive numerical verifications for quadratic and cubic fields (cyclic or not) and publish the PARI/GP programs directly usable by the reader for numerical improvements. Such a conjecture (if exact) reinforces our conjecture that any fixed number field K is p-rational (i.e., T\_K=1) for all p >> 0 .

研究动机与目标

• 建立经典 Brauer–Siegel 定理的 p 进类比，该定理在阿基米德情形下将类数与单位根与判别式联系起来。
• 研究 p 进赋值 $mathrm{TK}$（与 p 进 zeta 函数在 $s=1$ 处的留数相关）是否对全实域族有界，其界为 $\log \sqrt{D_K}$ 的常数倍。
• 通过以 $mathrm{TK}$ 为中心的代数方法，克服因 p 进 L 函数中可能存在 'Siegel 零点' 而导致的 p 进解析方法失效问题。
• 提供计算证据及 PARI/GP 代码，用于在二次与三次域族中验证该猜想。
• 支持更广泛的猜想：每个数域对所有足够大的素数 $p$ 均为 p-有理（即 $mathrm{TK} = 1$）。

提出的方法

• 定义 $mathrm{TK} = \mathrm{Gal}(H^{\mathrm{pr}}_K / K^c)$，即在 Leopoldt 猜想成立下，全实域 $K$ 的最大阿贝尔 p-分歧的 p 进扩张的伽罗华群中的挠子群。
• 引入归一化不变量 $C_p(K) = \mathrm{vp}(\#\mathrm{TK}) \cdot \log p / \log \sqrt{D_K}$，用于度量 $mathrm{vp}(\#\mathrm{TK})$ 相对于判别式的增长。
• 利用涉及 $mathrm{WK}$、$mathrm{UK}/\overline{\mathrm{EK}}$ 与 p 进对数的正合列，将 $mathrm{TK}$ 与归一化的 p 进单位根 $mathrm{RK}$ 联系起来。
• 使用 PARI/GP 对实二次与三次域（循环与非循环）进行大量数值计算，计算 $mathrm{vp}(\#\mathrm{TK})$ 与 $C_p(K)$。
• 分析在固定次数的域族及塔结构中 $C_p(K)$ 的行为，观察到许多情况下 $C_p(K) < 1$。
• 将 p 进情形与经典 Brauer–Siegel 定理进行比较，指出由于可能存在 Siegel 零点，p 进分析失效，因此转向代数方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在统一的有界常数 $C_p < \infty$，使得对所有固定次数的全实域 $K$，有 $\mathrm{vp}(\#\mathrm{TK}) \leq C_p \cdot \log \sqrt{D_K}$？
• RQ2 由于 Siegel 零点导致解析方法失效，是否能通过 $mathrm{TK}$ 等代数不变量建立 p 进 Brauer–Siegel 定理？
• RQ3 当 $D_K \to \infty$ 时，在二次或三次域族中，$C_p(K)$ 的渐近行为如何？
• RQ4 猜想 $\sup_K C_p(K) < \infty$ 是否支持更强的猜想：每个数域对所有 $p \gg 0$ 均为 p-有理？
• RQ5 不变量 $C_p(K)$ 是否可用于证明如 $K^{(d)}_{\mathrm{real}}(p^e)$ 这类族中非 p-有理域的有限性结果？

主要发现

• 对于实二次域，观察到 $C_p(K)$ 值小于 1，例如当 $p=2$，$k=9$，$D=17213619969^2$，$v_p(\#\mathrm{TK})=28$，$C_p=0.8234$。
• 对于三次域，$C_p(K)$ 值低至 0.2500，例如当 $p=37$，$D=44563^2$，$v_p(\#\mathrm{TK})=1$，$C_p=0.2500$。
• 在五次与七次域中，$C_p(K)$ 值分别为 0.5000 与 0.3333，表明其强烈趋向于 $C_p(K) \leq 1$。
• 对于导数为 $p$ 的循环三次域，至 $p \leq 10^8$ 仅发现两个 $v_p(\#\mathrm{TK})=1$ 的例子，表明 $C_p(K)=1$ 稀有且可能有限。
• 本文提供了 PARI/GP 代码，可直接计算任意 $p$ 与域的 $mathrm{TK}$ 与 $C_p(K)$，支持进一步的数值验证。
• 结果支持猜想：对固定 $p$，有 $\sup_K C_p(K) < \infty$，且对任意固定 $K$，有 $\limsup_p C_p(K) = 0$，从而强化了 p-有理性猜想。