[论文解读] High-accuracy mesh-free quadrature for trimmed parametric surfaces and volumes

David Gunderman, Kenneth Weiss+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2021

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 56被引用 17

一句话总结

本论文提出了一种高精度、无网格的积分方案，用于对裁剪参数化曲面和体积进行积分，利用广义斯托克斯定理将积分问题转化为沿裁剪曲线的线积分。通过应用高阶数值反微分与高斯积分，该方法在几何逼近误差范围内实现了指数收敛，其精度和效率显著优于传统方案，且所需积分点更少。

ABSTRACT

This work presents a high-accuracy, mesh-free, generalized Stokes theorem-based numerical quadrature scheme for integrating functions over trimmed parametric surfaces and volumes. The algorithm relies on two fundamental steps: (1) We iteratively reduce the dimensionality of integration using the generalized Stokes theorem to line integrals over trimming curves, and (2) we employ numerical antidifferentiation in the generalized Stokes theorem using high-order quadrature rules. The scheme achieves exponential convergence up to trimming curve approximation error and has applications to computation of geometric moments, immersogeometric analysis, conservative field transfer between high-order curvilinear meshes, and initialization of multi-material simulations. We compare the quadrature scheme to commonly-used quadrature schemes in the literature and show that our scheme is much more efficient in terms of number of quadrature points used. We provide an open-source implementation of the scheme in MATLAB as part of QuaHOG, a software package for Quadrature of High-Order Geometries.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒、高精度的积分方法，用于裁剪参数化曲面与体积，无需进行域分解。
• 解决在等几何分析与浸入有限元分析中常见的复杂高阶裁剪几何体积分难题。
• 提升场量传递、矩量拟合及多材料初始化等模拟中积分量的守恒精度。
• 消除对表面或体积网格划分的需求，从而提高鲁棒性并降低预处理复杂度。

提出的方法

• 该方法应用广义斯托克斯定理，将d维体积分或面积分转化为沿裁剪曲线的(d−1)维线积分。
• 通过高斯积分实现高阶数值反微分，沿裁剪曲线高精度计算原函数。
• 裁剪曲线通过高阶多项式段近似，其点集由IRIT曲线求交求解器获得。
• 算法通过在曲线端点处求值原函数并累加贡献项来计算积分，避免了逐单元分解。
• 该方案支持任意函数（包括非符号函数），其依赖于数值积分而非符号原函数。
• QuaHOG中提供了用于高阶几何体积分的开源MATLAB实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不进行网格划分或域分解的前提下，实现裁剪参数化曲面与体积的高阶积分？
• RQ2 与标准积分方案相比，基于斯托克斯定理的方法在积分点数量与精度方面的收敛速率如何？
• RQ3 通过高阶积分实现的数值反微分在多大程度上可实现对任意函数积分的指数收敛？
• RQ4 当裁剪曲线为近似表示而非精确表达时，该方法是否仍能保持高精度？
• RQ5 该方法在不同几何复杂度与积分任务下的效率与精度表现如何？

主要发现

• 所提出的积分方案在积分点数量上实现了指数收敛，收敛上限受裁剪曲线近似误差限制。
• 该方法在达到相同精度时所需积分点数量显著少于传统方案，展现出更高的效率。
• 即使对于多项式被积函数，基于高阶高斯积分的数值反微分在预处理时间上也优于符号积分。
• 通过使用高阶曲线近似与数值反微分，可在无需精确裁剪曲线表达的情况下实现高精度。
• 该方法在多种几何形态（包括裁剪球面与犹他茶壶）中均表现出鲁棒性与可扩展性，并支持对积分量守恒有要求的应用。
• 性能基准测试表明，即使对于多项式，使用10阶高斯积分实现的数值反微分在预处理阶段也比符号积分更快。