[论文解读] High-Order Quadrature on Multi-Component Domains Implicitly Defined by Multivariate Polynomials

Robert I. Saye|arXiv (Cornell University)|May 19, 2021

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 81被引用 28

一句话总结

本文提出了一种针对由多元多项式隐式定义的复杂多组件区域的高阶积分方法。通过将几何结构重铸为多值高度函数，并应用一维高斯勒让德或双曲正切-正弦积分法，该方法在 h-型细化下可实现高达 22 阶的精度，在 q-型细化下实现近似指数收敛，自动处理奇点和拓扑复杂性。

ABSTRACT

A high-order quadrature algorithm is presented for computing integrals over curved surfaces and volumes whose geometry is implicitly defined by the level sets of (one or more) multivariate polynomials. The algorithm recasts the implicitly defined geometry as the graph of an implicitly defined, multi-valued height function, and applies a dimension reduction approach needing only one-dimensional quadrature. In particular, we explore the use of Gauss-Legendre and tanh-sinh methods and demonstrate that the quadrature algorithm inherits their high-order convergence rates. Under the action of $h$-refinement with $q$ fixed, the quadrature schemes yield an order of accuracy of $2q$, where $q$ is the one-dimensional node count; numerical experiments demonstrate up to 22nd order. Under the action of $q$-refinement with the geometry fixed, the convergence is approximately exponential, i.e., doubling $q$ approximately doubles the number of accurate digits of the computed integral. Complex geometry is automatically handled by the algorithm, including, e.g., multi-component domains, tunnels, and junctions arising from multiple polynomial level sets, as well as self-intersections, cusps, and other kinds of singularities. A variety of numerical experiments demonstrates the quadrature algorithm on two- and three-dimensional problems, including: randomly generated geometry involving multiple high-curvature pieces; challenging examples involving high degree singularities such as cusps; adaptation to simplex constraint cells in addition to hyperrectangular constraint cells; and boolean operations to compute integrals on overlapping domains.

研究动机与目标

• 开发一种针对由多元多项式零水平集定义的弯曲曲面与体积积分的高阶积分格式。
• 在无需启发式剖分或网格生成的情况下，处理复杂几何结构——如多组件区域、隧道、连接处、尖点与自相交。
• 通过利用具有高阶收敛性的的一维积分规则，确保高精度与高效率。
• 自动检测并积分隐式定义区域的各个连通分量，即使被积函数在界面处不光滑，也能保持精度。
• 提供一种与维数无关的框架，可在二维与三维中统一使用，且几何预处理需求最小。

提出的方法

• 该方法将隐式定义的区域重铸为多值高度函数的图像，将积分问题简化为沿坐标方向的一维积分。
• 在高度函数上应用高阶一维积分规则——特别是高斯勒让德与双曲正切-正弦积分法，以计算区域上的积分。
• 对于每个积分单元，采用混合根求解策略识别多项式系统在区间 (0,1) 内的所有实根，该策略结合了 de Casteljau 剖分、带二分法保护的牛顿法，以及特征值求解器以增强鲁棒性。
• 对积分权重进行归一化，以精确积分常数函数，同时保持双曲正切-正弦规则的近似指数收敛特性。
• 该方法具有维数无关性，对体积积分与曲面积分均适用，分别在 d 维空间中具有 O(q^d) 与 O(q^{d-1}) 个积分节点。
• 该方法自然处理复杂拓扑：多组件、相交与奇点等结构可由多项式水平集自动生成，无需额外用户干预。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可仅通过一维积分方法，在复杂拓扑的隐式定义区域上实现高阶积分？
• RQ2 对于此类区域，收敛速率如何随 h-型细化（网格尺寸）与 q-型细化（积分阶数）变化？
• RQ3 该方法是否能自动检测并积分多个连通分量、连接处与奇点（如尖点），而无需显式网格划分或剖分？
• RQ4 使用高斯勒让德与双曲正切-正弦积分规则在存在曲界面与几何奇点的情况下，是否能保持高阶精度？
• RQ5 混合根求解策略如何确保在高次多项式系统中准确、鲁棒地计算界面交点？

主要发现

• 在固定 q 的 h-型细化下，该积分格式的精度阶数约为 2q，数值实验表明最高可实现 22 阶收敛。
• 在固定几何形状的 q-型细化下，收敛速率近似指数级，q 值加倍可使积分结果的精确有效数字约增加一倍。
• 该方法成功计算了具有高曲率特征（包括尖点与自相交）的区域上的积分，无需特殊处理或网格加密。
• 该算法能自动检测并积分由多个多项式水平集产生的多个连通分量、隧道与连接处，无需用户定义的分解。
• 混合根求解策略——结合 de Casteljau 剖分、牛顿法与特征值求解器——实现了高精度与高鲁棒性，超过 95% 的根在少于 10 次牛顿迭代内达到全精度机器精度。
• 采用归一化的双曲正切-正弦积分法确保了常数函数的精确积分，同时保持了方法对光滑被积函数的近似指数收敛特性。