[论文解读] High frequency homogenization of bubbly crystals

Habib Ammari, Hyundae Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2017

Acoustic Wave Phenomena Research参考文献 27被引用 1

一句话总结

本文通过证明第一布洛赫本征值在布里渊区角点处达到峰值，建立了多孔声子晶体的高频均质化，从而实现了本征函数到缓变分量与周期分量的严格分解。研究证实了在临界频率附近声波的超聚焦现象，并解释了该频率之上的带隙打开机制，将先前针对稀疏体系的亚波长带隙结果推广至非稀释区域。

ABSTRACT

This paper is concerned with the high-frequency homogenization of bubbly phononic crystals. It is a follow-up of the works [H. Ammari et al., Sub-wavelength phononic bandgap opening in bubbly media, J. Diff. Eq., 263 (2017), 5610--5629] which shows the existence of a sub-wavelength band gap. This phenomena can be explained by the periodic inference of cell resonance which is due to the high contrast in both the density and bulk modulus between the bubbles and the surrounding medium. In this paper, we prove that the first Bloch eigenvalue achieves its maximum at the corner of the Brillouin zone. Moreover, by computing the asymptotic of the Bloch eigenfunctions in the periodic structure near that critical frequency, we demonstrate that these eigenfunctions can be decomposed into two parts: one part is slowly varying and satisfies a homogenized equation, while the other is periodic across each elementary crystal cell and is varying. They rigorously justify, in the nondilute case, the observed super-focusing of acoustic waves in bubbly crystals near and below the maximum of the first Bloch eigenvalue and confirm the band gap opening near and above this critical frequency.

研究动机与目标

• 将先前关于多孔介质中亚波长带隙结果的研究扩展至非稀释区域。
• 分析第一布洛赫本征值的行为及其在布里渊区角点处的最大值位置。
• 在临界频率附近，严格将布洛赫本征函数分解为均质化分量与周期分量。
• 通过渐近分析，解释观察到的多孔晶体中声波超聚焦现象的机理。
• 利用高频均质化技术，确认在临界频率附近及之上的带隙打开现象。

提出的方法

• 通过周期性结构的谱分析，证明第一布洛赫本征值在布里渊区角点处达到最大值。
• 在临界频率附近对布洛赫本征函数进行渐近展开，将其分离为缓变的均质化部分与快速振荡的周期部分。
• 利用高频均质化方法，推导出本征函数缓变部分所满足的极限方程。
• 应用周期性展开方法与匹配渐近展开技术，捕捉微观与宏观尺度之间的过渡行为。
• 利用气泡与基体之间在密度和体积模量上的显著对比，模拟强散射效应。
• 在非稀释情况下建立渐近分解的严格误差估计，确保收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于多孔声子晶体，第一布洛赫本征值在布里渊区中的最大值位于何处？
• RQ2 在非稀释区域内，临界频率附近布洛赫本征函数如何进行渐近分解？
• RQ3 在本征值最大值附近，多孔晶体中声波超聚焦现象的物理机制是什么？
• RQ4 高频均质化框架如何解释临界频率附近及之上的带隙打开现象？
• RQ5 能否通过渐近分析，在非稀释极限下严格证明观察到的亚波长带隙的存在？

主要发现

• 第一布洛赫本征值在布里渊区角点处达到最大值，证实了波局域化的临界频率。
• 在临界频率附近的布洛赫本征函数可分解为缓变的均质化部分与周期分量，从而实现有效的宏观建模。
• 均质化部分满足通过高频均质化导出的极限方程，准确捕捉了有效波行为。
• 渐近分解方法严格解释了在本征值最大值附近观察到的声波超聚焦现象。
• 在临界频率附近及之上确认了带隙打开现象，与实验观测及先前的亚波长带隙结果一致。
• 该分析适用于非稀释区域，将以往局限于稀释构型的研究结果予以推广。