[论文解读] High-order difference and pseudospectral methods for discontinuous problems

C. Markakis, Leor Barack|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2014

Differential Equations and Numerical Methods被引用 4

一句话总结

本文提出了一种高阶数值方法，通过在函数及其导数的已知间断处对拉格朗日插值进行修正，以求解具有不连续解的PDE。通过将这些间断信息嵌入标准有限差分或伪谱矩阵中，该方法即使在存在间断的情况下也能实现谱精度，从而能够高效且准确地求解具有移动前缘或激波的演化型PDE。

ABSTRACT

High order finite-difference or spectral methods are typically problematic in approximating a function with a jump discontinuity. Some common remedies come with a cost in accuracy near discontinuities, or in computational cost, or in complexity of implementation. However, for certain classes of problems involving piecewise analytic functions, the jump in the function and its derivatives are known or easy to compute. We show that high-order or spectral accuracy can then be recovered by simply adding to the Lagrange interpolation formula a linear combination of the jumps. Discretizations developed for smooth problems are thus easily extended to nonsmooth problems. Furthermore, in the context of one-dimensional finite-difference or pseudospectral discretizations, numerical integration and differentiation amount to matrix multiplication. We construct the matrices for such operations, in the presence of known discontinuities, by operating on the corrected Lagrange formula. In a method-of-lines framework, this provides a simple and efficient way to obtain solutions with moving discontinuities to evolution partial differential equations.

研究动机与目标

• 解决在求解具有跳跃间断问题时，有限差分和伪谱方法出现的高阶精度损失问题。
• 开发一种简单、高效的现有光滑问题离散化方法的扩展，以处理具有已知间断的非光滑解。
• 在方法-线框架下，通过一种方法实现具有移动间断的时间依赖PDE的高阶精度。
• 构建包含跳跃修正的微分与积分矩阵算子，同时保持谱收敛性。

提出的方法

• 该方法通过在标准拉格朗日插值公式中增加函数及其导数已知间断的线性组合，对其进行修正。
• 校正项通过间断的解析推导获得，假设这些间断是已知或可轻松计算的。
• 通过将修正后的插值公式应用于构造微分与积分算子，重新定义有限差分或伪谱矩阵。
• 所得矩阵在方法-线框架中被用于求解具有移动间断的时间依赖PDE。
• 该方法在保持标准谱方法结构的同时，确保在间断附近的高阶精度。
• 该方法通过将间断信息直接嵌入基函数中，避免了自适应加密、域分解或复杂界面追踪的需求。

实验结果

研究问题

• RQ1 在求解具有已知跳跃间断的PDE时，能否在谱方法和有限差分方法中保持高阶精度？
• RQ2 如何修改标准谱矩阵以嵌入间断信息，同时不牺牲效率或精度？
• RQ3 跳跃修正对伪谱离散化条件数和稳定性有何影响？
• RQ4 该方法能否无缝集成到方法-线框架中，以求解具有移动前缘的时间演化PDE？

主要发现

• 通过将已知间断信息嵌入插值公式，该方法在具有跳跃间断的问题中恢复了谱精度。
• 校正项通过解析方法推导，并以前向线性组合形式添加到标准拉格朗日插值中，保持了高阶收敛性。
• 利用修正后的插值公式构建了微分与积分算子矩阵，从而实现了演化型PDE的高效求解。
• 该方法即使在存在移动间断的情况下，也能在空间和时间上实现高阶精度，而无需复杂的数值处理。
• 该方法计算高效，保持了标准谱方法的简洁性，避免了昂贵的重划分网格或自适应加密。